Algebra liniowa z geometrią analityczną: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Opozda (dyskusja | edycje)
21 edycji
 
(Nie pokazano 40 wersji utworzonych przez 6 użytkowników)
Linia 3: Linia 3:


== Opis ==
== Opis ==
Zapoznanie z  podstawowymi pojęciami  algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie  do  geometrii analitycznej  w <math> R^n</math>.
Zapoznanie z  podstawowymi pojęciami  algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie  do  geometrii analitycznej  w <math>R^n</math>.


== Sylabus ==
== Sylabus ==


=== Autorzy ===  
=== Autorzy ===  
* Barbara Opozda
* Barbara Opozda &mdash; Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
* Małgorzata Downarowicz
* Małgorzata Downarowicz &mdash; Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
* Dominik Kwietniak
* Dominik Kwietniak &mdash; Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki


=== Wymagania wstępne ===
=== Wymagania wstępne ===
* Podstawy logiki i teorii mnogości
* Podstawy logiki i teorii mnogości
* Wiadomości ze szkoły.
* Wiadomości ze szkoły


=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
*Ciała i przestrzenie wektorowe:
*Ciała i przestrzenie wektorowe:
** grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała,
** grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
** przykłady ciał, ciało liczb zespolonych,
** przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
** definicja przestrzeni wektorowej,
** definicja przestrzeni wektorowej
** podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach,
** podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
** kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni.
** kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni
    
    
* Odwzorowania liniowe:
* Odwzorowania liniowe:
** definicja odwzorowania liniowego,
** definicja odwzorowania liniowego
** jądro i obraz odwzorowania  liniowego, rząd  odwzorowania liniowego,
** jądro i obraz odwzorowania  liniowego, rząd  odwzorowania liniowego
** monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm,
** monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
** przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne.
** przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne


* Macierze:
* Macierze:
** podstawowe pojęcia,
** podstawowe pojęcia
** działania na macierzach,
** działania na macierzach
** macierz odwzorowania liniowego,
** macierz odwzorowania liniowego
** mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych,
** mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
** macierz dualna a odwzorowanie dualne,
** macierz dualna a odwzorowanie dualne
** rząd macierzy,
** rząd macierzy
** macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy,
** macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
** ślad macierzy i endomorfizmu.
** ślad macierzy i endomorfizmu
* Układy równań liniowych:  
* Układy równań liniowych:  
** twierdzenie Kroneckera-Capellego,
** twierdzenie Kroneckera-Capellego
** zbiór rozwiązań układu równań liniowych,
** zbiór rozwiązań układu równań liniowych
** badanie  układu równań.
** badanie  układu równań
* Wyznacznik:
* Wyznacznik:
** wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika,
** wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
** minory i rząd macierzy,
** minory i rząd macierzy
** wzory Cramera,
** wzory Cramera
** wzory na wyrazy macierzy odwrotnej.
** wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
* Endomorfizmy:
* Endomorfizmy:
** wartość własna i wektor własny,
** wartość własna i wektor własny
** wielomian charakterystyczny,
** wielomian charakterystyczny
** bazy i macierze Jordana.
** bazy i macierze Jordana
*  Formy kwadratowe:
*  Formy kwadratowe:
** macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego,
** macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
** twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej.
** twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
* Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
* Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
** iloczyn skalarny,
** iloczyn skalarny
** norma wyznaczona przez iloczyn skalarny,
** norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
** nierówność Schwarza,
** nierówność Schwarza
** baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta,
** baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
** macierz i wyznacznik Grama,
** macierz i wyznacznik Grama, miara układu wektorów
** izometrie liniowe, macierz ortogonalna.
** izometrie liniowe, macierz ortogonalna
* Geometria analityczna:
* Geometria analityczna:
** przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna <math>R^n</math>,
** przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna <math>R^n</math>
** układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych, 
** układ bazowy, ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
** podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych,
** podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
** równoległość podprzestrzeni afinicznych,
** równoległość podprzestrzeni afinicznych
** podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych,
** podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
** opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych,
** opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
** odległość punktów i niektórych figur,
** odległość punktów i niektórych figur
** zbiory wypukłe,
** zbiory wypukłe
** odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa,
** odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa


=== Literatura ===
=== Literatura ===
#  A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN,Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
#  A. Białynicki-Birula, ''Algebra liniowa z geometrią'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
#  J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
#  J. Gancarzewicz, ''Algebra liniowa z elementami geometrii'', Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
#  J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
#  J. Komorowski, ''Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
#  K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, PWN, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979,  Warszawa 2006.
#  K. Nomizu, ''Fundamentals of Linear Algebra'', McGraw-Hill, Inc., New York 1966.
 
#  K. Sieklucki, ''Geometria i topologia, część I - Geometria'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979,  Warszawa 2006.
 
 


== Moduły ==
== Moduły ==
 
#[[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 1: Grupy i ciała|Grupy i ciała]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 1: Grupy i ciała|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 1: Grupy i ciała|test]])
* [[RPS Moduł 1| Ciała i przestrzenie wektorowe I]] ([[RPS Ćwiczenia 1|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 2: Przestrzenie wektorowe| Przestrzenie wektorowe]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 2: Przestrzenie wektorowe|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe|test]])
* [[RPS Moduł 2| Ciała i przestrzenie wektorowe II]] ([[RPS Ćwiczenia 2|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy| Układy liniowo niezależne, generatory, bazy]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy|test]])
* [[RPS Moduł 3| Ciała i przestrzenie wektorowe III]] ([[RPS Ćwiczenia 3|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 4: Odwzorowania liniowe| Odwzorowania liniowe]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe|test]])
* [[RPS Moduł 4| Odwzorowania liniowe]] ([[RPS Ćwiczenia 4|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 5: Macierze| Macierze ]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 5: Macierze|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 5: Macierze|test]])
* [[RPS Moduł 5| Macierze I]] ([[RPS Ćwiczenia 5|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe| Macierze a odwzorowania liniowe]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 6: Macierze a odwzorowania liniowe|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 6: Macierze a odwzorowania liniowe|test]])
* [[RPS Moduł 6| Macierze II]] ([[RPS Ćwiczenia 6|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 7: Wyznacznik| Wyznacznik]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 7: Wyznacznik|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik|test]])
* [[RPS Moduł 7| Układy równań liniowych]] ([[RPS Ćwiczenia 7|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych| Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych|test]])
* [[RPS Moduł 8| Wyznacznik ]] ([[RPS Ćwiczenia 9|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana|Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana|test]])
* [[RPS Moduł 9| Endomorfizmy ]] ([[RPS Ćwiczenia 10|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe|Euklidesowe przestrzenie wektorowe]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe|test]])
* [[RPS Moduł 10|Formy kwadratowe]] ([[RPS Ćwiczenia 8|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 11: Formy kwadratowe|Formy kwadratowe]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 11: Formy kwadratowe|test]])
* [[RPS Moduł 11|Przestrzenie euklidesowe]] ([[RPS Ćwiczenia 11|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 12: Miara układu wektorów|Miara układu wektorów]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 12: Miara układu wektorów|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 12: Miara układu wektorów|test]])
* [[RPS Moduł 12|Geomeria analityczna I ]] ([[RPS Ćwiczenia 12|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 13: Przestrzenie afiniczne I|Przestrzenie afiniczne I]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 13: Przestrzenie afiniczne I|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 13: Przestrzenie afiniczne I|test]])
* [[RPS Moduł 13|Geometria analityczna II]] ([[RPS Ćwiczenia 13|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 14: Przestrzenie afiniczne II|Przestrzenie afiniczne II]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 14: Przestrzenie afiniczne II|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 14: Przestrzenie afiniczne II|test]])
* [[RPS Moduł 14|Geometria analityczna III]] ([[RPS Ćwiczenia 14|Ćwiczenia]])
# [[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne|Euklidesowe przestrzenie afiniczne]] ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne|ćwiczenia]]) ([[Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne|test]])
* [[RPS Moduł 15|Geometria analityczna IV]] ([[RPS Ćwiczenia 15|Ćwiczenia]])
 
== Literatura uzupełniająca ==
''opcjonalnie''

Aktualna wersja na dzień 18:57, 26 wrz 2006

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej w Rn.

Sylabus

Autorzy

  • Barbara Opozda — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
  • Małgorzata Downarowicz — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
  • Dominik Kwietniak — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki

Wymagania wstępne

  • Podstawy logiki i teorii mnogości
  • Wiadomości ze szkoły

Zawartość

  • Ciała i przestrzenie wektorowe:
    • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
    • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
    • definicja przestrzeni wektorowej
    • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
    • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni
  • Odwzorowania liniowe:
    • definicja odwzorowania liniowego
    • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego
    • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
    • przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne
  • Macierze:
    • podstawowe pojęcia
    • działania na macierzach
    • macierz odwzorowania liniowego
    • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
    • macierz dualna a odwzorowanie dualne
    • rząd macierzy
    • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
    • ślad macierzy i endomorfizmu
  • Układy równań liniowych:
    • twierdzenie Kroneckera-Capellego
    • zbiór rozwiązań układu równań liniowych
    • badanie układu równań
  • Wyznacznik:
    • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
    • minory i rząd macierzy
    • wzory Cramera
    • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
  • Endomorfizmy:
    • wartość własna i wektor własny
    • wielomian charakterystyczny
    • bazy i macierze Jordana
  • Formy kwadratowe:
    • macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
    • twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
  • Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
    • iloczyn skalarny
    • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
    • nierówność Schwarza
    • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
    • macierz i wyznacznik Grama, miara układu wektorów
    • izometrie liniowe, macierz ortogonalna
  • Geometria analityczna:
    • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna Rn
    • układ bazowy, ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
    • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
    • równoległość podprzestrzeni afinicznych
    • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
    • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
    • odległość punktów i niektórych figur
    • zbiory wypukłe
    • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa

Literatura

  1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
  2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
  3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  4. K. Nomizu, Fundamentals of Linear Algebra, McGraw-Hill, Inc., New York 1966.
  5. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.

Moduły

  1. Grupy i ciała (ćwiczenia) (test)
  2. Przestrzenie wektorowe (ćwiczenia) (test)
  3. Układy liniowo niezależne, generatory, bazy (ćwiczenia) (test)
  4. Odwzorowania liniowe (ćwiczenia) (test)
  5. Macierze (ćwiczenia) (test)
  6. Macierze a odwzorowania liniowe (ćwiczenia) (test)
  7. Wyznacznik (ćwiczenia) (test)
  8. Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych (ćwiczenia) (test)
  9. Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana (ćwiczenia) (test)
  10. Euklidesowe przestrzenie wektorowe (ćwiczenia) (test)
  11. Formy kwadratowe (ćwiczenia) (test)
  12. Miara układu wektorów (ćwiczenia) (test)
  13. Przestrzenie afiniczne I (ćwiczenia) (test)
  14. Przestrzenie afiniczne II (ćwiczenia) (test)
  15. Euklidesowe przestrzenie afiniczne (ćwiczenia) (test)
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometrią_analityczną&oldid=56884”