Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 12: Miara układu wektorów

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Macierz Grama. Wyznacznik Grama

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy sam iloczyn skalarny (oznaczony w tym rozdziale przez ) jako odwzorowanie dwuliniowe symetryczne jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową. Tą forma kwadratową jest kwadrat normy



Niech teraz będzie dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni . Definiujemy macierz


     (1.1)


Macierz tę nazywamy macierzą Grama ciągu wektorów . Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama tego ciągu.


Plik:Ag12 1a.mp4
Macierz i wyznacznik Grama


Zauważmy od razu, że wyznacznik Grama nie zależy od kolejności wektorów . Istotnie, przestawieniu dwu wektorów w ciągu odpowiada jednoczesne przestawienie dwu kolumn i dwu wierszy w macierzy Grama. A zatem możemy mówić o wyznaczniku Grama układu wektorów. Wyznacznik Grama układu oznaczać będziemy przez .

Jeżeli jest skończenie wymiarowa, to macierz odwzorowania dwuliniowego przy dowolnej bazie ortonormalnej jest macierzą jednostkową. W szczególności, wyznacznik tej macierzy jest dodatni. Ze wzoru (0.3) z Wykładu XI wynika, że wyznacznik macierzy przy jakiejkolwiek bazie jest dodatni.

Twierdzenie 1.1

Wyznacznik Grama dowolnego układu wektorów jest zawsze większy lub równy zeru. Jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów jest liniowo zależny.

Dowód

Oznaczmy przez przestrzeń rozpiętą na danych wektorach . Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny (dokładniej mówiąc, zawężenie do ).

Jeśli wektory są liniowo zależne, to pewien wektor jest kombinacją liniową wektorów pozostałych. Wtedy -ta kolumna macierzy Grama jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.

Załóżmy teraz, że wektory są liniowo niezależne. Stanowią więc bazę przestrzeni . Macierz Grama tego układu, jest macierzą przy bazie przestrzeni . A zatem, na podstawie uwagi, którą zrobiliśmy bezpośrednio przed twierdzeniem, wyznacznik tej macierzy jest dodatni (w

szczególności niezerowy). End of proof.gif

Przykład 1.2

Niech dane będą dwa wektory i . Mamy macierz Grama



Fakt, że wyznacznik tej macierzy jest nieujemny jest nierównością Schwarza.

Niech będzie bazą ortonormalną przestrzeni i niech będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni . Tak jak zdefiniowaliśmy macierz przejścia od jednej bazy do drugiej, tak samo możemy zdefiniować macierz przejścia od bazy do układu . Mianowicie, definiujemy macierz wzorami


     (1.2)


Macierz jest macierzą współrzędnych wektorów w bazie . Zupełnie tak samo jak wzór (0.3) z Wykładu XI otrzymujemy wzór następujący


     (1.3)


gdzie jest macierzą zdefiniowaną formułą (1.2).

Otrzymaliśmy więc

Twierdzenie 1.3

Wyznacznik Grama układu wektorów jest równy , gdzie jest macierzą utworzoną ze współrzędnych wektorów w bazie ortonormalnej .

Miara układu wektorów

Niech będzie skończenie wymiarową euklidesową przestrzenią wektorową. Niech będzie dowolną jej podprzestrzenią. Mamy wtedy . Niech będzie dowolnym wektorem. Wektor ten rozkłada się jednoznacznie na sumę , gdzie i . Zdefiniujmy liczbę


     (2.4)


Niech teraz będzie dowolną (niekoniecznie skończenie wymiarową) euklidesową przestrzenią wektorową i dowolnym ciągiem wektorów.

Zdefiniujemy liczbę , którą nazywać będziemy miarą układu (lub -wymiarową objętością). Definicja będzie indukcyjna.


Definicja 2.1

Jeżeli , to miarą wektora jest jego długość . Jeżeli określona już jest miara układów -elementowych, to miarą układu jest liczba zdefiniowana wzorem



Plik:Ag12 2a.mp4
Miara układu wektorów (objętość)

Definicja ta jest zgodna z naszą intuicją i wiadomościami wyniesionymi ze szkoły.

Miara układu dwóch wektorów jest polem równoległoboku wyznaczonego przez te wektory. Miara układu trzech liniowo niezależnych wektorów jest objętością równoległościanu utworzonego przez te wektory.

Z definicji miary układu wektorów łatwo wynika, że , jeśli wektory są liniowo zależne.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Dla każdego układu wektorów zachodzi równość


     (2.5)


Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na .

Dla twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego .

Niech dany będzie układ wektorów . Jeśli układ ten jest liniowo zależny, to po obydwu stronach (2.5) mamy zero. Możemy więc założyć, że dany układ wektorów jest liniowo niezależny.

W -wymiarowej przestrzeni weźmy -wymiarową podprzestrzeń . Oznaczmy przez liczbę . Niech , gdzie i , zaś jest dopełnieniem ortogonalnym do w . W szczególności . Ponieważ jest bazą , wektor możemy zapisać jako



Zachodzą następujące równości


End of proof.gif


A zatem mamy równość


     (2.6)


Oczywiście dla każdego . Stąd



dla . Zatem


     (2.7)


Przyjmijmy . Łącząc (2.6) i (2.7) otrzymujemy układ równości


     (2.8)


Potraktujmy ten układ jako jednorodny układ równań liniowych z niewiadomymi . Wiemy, że układ ten ma niezerowe rozwiązanie . A zatem wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest równy . Macierz współczynników tego układu jest następująca


     (2.9)


Korzystając teraz z liniowości wyznacznika ze względu na ostatnią kolumnę otrzymujemy równość wyznaczników następujących macierzy


     (2.10)


     (2.11)


Wyznacznik pierwszej macierzy jest równy , zaś wyznacznik drugiej macierzy jest równy . Dowód twierdzenia jest zakończony.

Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący

Wniosek 2.3

Miara układu wektorów nie zależy od uporządkowania wektorów tworzących układ.

Ponadto udowodniliśmy następujący wzór

Twierdzenie 2.4

Dla dowolnych wektorów zachodzi wzór


     (2.12)


gdzie liczba zdefiniowana jest formułą (2.4) i .

Miara dowolnego ortonormalnego układu wektorów jest równa 1. Wynika to łatwo zarówno z definicji jak i z formuły (2.5). Innymi słowy, objętość kostki rozpiętej na układzie ortonormalnym jest równa 1.

Niech będzie endomorfizmem przestrzeni euklidesowej . Załóżmy, że jest skończenie wymiarowa. Ustalmy pewną bazę ortonormalną . Miara układu wektorów jest równa 1. Jeśli jest endomorfizmem przestrzeni , to przeprowadza daną bazę w układ . Kolumny macierzy odwzorowania przy bazie są współrzędnymi wektorów w bazie . A zatem, na podstawie Twierdzenia 1.2 i Twierdzenia 2.2, otrzymujemy

Wniosek 2.5

Miara wektorów jest równa mierze bazy wtedy i tylko wtedy, gdy .

O endomorfizmie mówimy, że zachowuje objętość, jeśli jego wyznacznik jest równy . Oczywiście izometrie maja tę własność, ale odwzorowań zachowujących objętość jest o wiele więcej. Każdy automorfizm pomnożony przez odpowiedni skalar jest odwzorowaniem zachowującym objętość. Endomorfizm, którego wyznacznik jest równy 1 nazywa się endomorfizmem unimodularnym.

Ogół macierzy kwadratowych o wymiarach na , których wyznacznik równy jest 1 jest podgrupą grupy . Grupę tę oznacza się i nazywa się grupą specjalną. Elementy tej grupy nazywa się macierzami unimodularnymi.