Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 14: Przestrzenie afiniczne II

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 14.1

Wykazać, że zbiór



jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni i wyznaczyć jej kierunek.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.2

W przestrzeni napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i równoległej do płaszczyzny



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.3

W przestrzeni napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami



oraz przez punkt .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.4

W przestrzeni afinicznej dana jest płaszczyzna



oraz punkt . Wyznaczyć rodzinę prostych równoległych do  i zawierających punkt .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.5

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech oraz będą przestrzeniami afinicznymi. Niech będzie odwzorowaniem afinicznym i niech oznacza odwzorowanie liniowe indukowane przez . Wykazać, że

a) jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy  jest monomorfizmem,
b) jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy  jest epimorfizmem,
c) jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy  jest izomorfizmem.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.6

Niech i będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech . Wykazać, że jest afiniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: odwzorowanie liniowe oraz wektor takie, że .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.7

Niech . Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ze standardowym iloczynem skalarnym. Ustalmy wektor oraz liczbę rzeczywistą . Wykazać wypukłość następującyh zbiorów:

a) ,
b) ,
c) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 14.8

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem  i niech . Wykazać, że zbiór jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego , dla dowolnego ciągu elementów zbioru  i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych spełniających warunek



kombinacja liniowa



należy do .

Wskazówka
Rozwiązanie