Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 11.1

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem  i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech



gdzie . Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie formą kwadratową. Definiujemy



Wykazać, że jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa



Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa



Wyznaczyć macierz w bazie kanonicznej oraz rząd .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.5

Niech . Wykazać, że jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę , przy której macierz  ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe



Zbadać, czy jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka
Rozwiązanie