Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 7: Wyznacznik

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 7.1

Niech będzie dane wzorem



Zbadać, czy

i) jest odwzorowaniem dwuliniowym,
ii) jest odwzorowaniem symetrycznym,
iii) jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.2

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech , . Definiujemy



Zbadać, czy

i) jest formą dwuliniową,
ii) jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.3

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech będzie endomorfizmem. Wykazać, że odwzorowanie



jest dwuliniowe.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.4

Niech  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech



będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Wykazać, że istnieje taki endomorfizm , że dla wszystkich i wszystkich zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.5

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech . Ustalmy wektory . Wykazać, że dla dowolnych , i dla dowolnego skalara zachodzi równość:



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.6

Niech



Wykazać, że .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.7

Niech



Wykazać, że


Komentarz



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.8

Obliczyć wyznaczniki macierzy oraz , gdy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.9

Obliczyć wyznacznik macierzy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.10

Wykazać, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.11

Podać wzór na wyznacznik następujących macierzy:



oraz




Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.12

Niech będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru .

a) Udowodnić, że jeżeli  jest macierzą skośnie symetryczną, czyli oraz  jest liczbą nieparzystą, to .
b) Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej takiej, że .
c) Wykazać, że jeżeli , to jest liczbą parzystą.
d) Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa, jeżeli założmy, że jest macierzą zespoloną?
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 7.13

Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy



jest równy .

Wskazówka
Rozwiązanie