Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 14: Przestrzenie afiniczne II

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Podprzestrzenie afiniczne

Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni , zaś - niepustym podzbiorem . Mówimy, że jest podprzestrzenią o kierunku , jeśli spełnione są dwa następujące warunki:

PA 1) dla każdych .
PA 2) dla każdych i .

Jest oczywiste, że jeśli spełnione są te warunki, to z operacjami zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów zawężonymi z przestrzeni jest przestrzenią afiniczną.

Przykład 1.1

Podzbiór składający się z jednego (dowolnego) punktu przestrzeni jest podprzestrzenią afiniczną o kierunku . Cała przestrzeń jest podprzestrzenią o kierunku .

Przykład 1.2

Niech i będzie podprzestrzenią wektorową . Rozważmy zbiór


     (1.1)


Niech , , gdzie . Z Twierdzenia 1.1 wiemy, że



Podobnie, jeśli , gdzie , to



dla . A zatem zbiór zdefiniowany przez(1.1) jest podprzestrzenią afiniczną o kierunku .

Przypomnijmy sobie, że zbiór rozwiązań układu równań liniowych jest właśnie postaci (1.1). A zatem mamy twierdzenie.

Twierdzenie 1.3

Jeśli układ równań liniowych ma rozwiązanie, to zbiór wszystkich rozwiązań tego układu jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni o kierunku będącym przestrzenią rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego.

W szczególności podprzestrzeń dana jednym równaniem, tzn. równaniem


     (1.2)


jest wymiarową podprzestrzenią (lub dowolnej -wymiarowej przestrzeni afinicznej z wprowadzonym okładem współrzędnych), o ile któryś ze skalarów jest różny od zera. Podprzestrzeń -wymiarową nazywa się hiperpłaszczyzną. Równanie (1.2) nazywa się równaniem ogólnym hiperpłaszczyzny.

Podprzestrzeń jednowymiarową nazywamy prostą afiniczną. Podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.

Mamy następujący lemat.

Lemat 1.4

Jeśli oraz są podprzestrzeniami afinicznymi to .

Dowód

Niech i . Wtedy . Ponieważ jest podprzestrzenią afiniczną, więc . End of proof.gif

Dzięki temu lematowi wystarczy mówić " niech będzie podprzestrzenią afiniczną", bo kierunek podprzestrzeni jest wyznaczony jednoznacznie.

Zauważmy teraz, że każda podprzestrzeń afiniczna jest taka jak w (Przykładzie 1.2).

Twierdzenie 1.5

Niech będzie podprzestrzenią afiniczną o kierunku . Dla dowolnego punktu mamy



Dowód

Z definicji podprzestrzeni afinicznej wynika, że . Odwrotnie, jeżeli , to , a zatem . End of proof.gif

Kierunek dowolnej podprzestrzeni afinicznej jest równy przestrzeni


     (1.3)


gdzie jest dowolnie wybranym punktem przestrzeni , lub, co na jedno wychodzi, przestrzeni


     (1.4)


Załóżmy, że mamy dwie podprzestrzenie tej samej przestrzeni afinicznej .

Mówimy, że podprzestrzeń afiniczna jest równoległa do podprzestrzeni , jeśli . Podprzestrzenie , są równoległe, jeśli .

Zachodzi następujące (zgodne z intuicją) twierdzenie.

Twierdzenie 1.6

Jeżeli podprzestrzeń jest równoległa do , to albo , albo .

Dowód

Przypuśćmy, że . Niech . Jeżeli , sa kierunkami i odpowiednio, to i . Wobec tego . End of proof.gif

Twierdzenie 1.7

Niech będzie dowolną rodziną podprzestrzeni przestrzeni . Jeśli , to jest podprzestrzenią afiniczną .

Dowód

Niech będzie kierunkiem dla każdego . Jeśli , to



a więc



End of proof.gif

Zbiory wypukłe

Niech dane będą dwa różne punkty , przestrzeni afinicznej o kierunku będącym przestrzenią wektorową nad ciałem . Prosta przechodząca przez te punkty może być opisana jako zbiór wszystkich punktów postaci , . Odcinkiem wyznaczonym przez te punkty nazywamy zbiór



Jeśli jest przestrzenią wektorową (lub w przestrzeni afinicznej ustalony jest punkt bazowy), to .

Zbiór nazywamy wypukłym, jeśli dla każdej pary punktów odcinek zawiera się w zbiorze .



Oczywiste jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Przecięcie dowolnej rodziny zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Jeżeli jest dowolnym podzbiorem przestrzeni , to przez oznaczamy przecięcie wszystkich zbiorów wypukłych zawierających . Na mocy Twierdzenia 2.1 jest to zbiór wypukły o tej własności, że każdy zbiór wypukły zawierający zawiera . Zbiór nazywa się wypukłą otoczką zbioru .

Odwzorowania afiniczne

Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech , będą przestrzeniami afinicznymi. Odwzorowanie



nazywamy odwzorowaniem afinicznym, jeśli istnieje odwzorowanie liniowe



takie, że dla każdych zachodzi równość


     (3.5)


Warunek ten można zastąpić warunkiem równoważnym:


     (3.6)


dla każdych i .

Mówimy, że jest odwzorowaniem liniowym indukowanym przez odwzorowanie afiniczne .

Odwzorowanie indukowane jest dla danego odwzorowania afinicznego jedyne. Mamy mianowicie

Lemat 3.1

Jeżeli jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowania liniowe i , to .

Dowód

Niech i . Zachodzą równości



End of proof.gif

Dowód następującego twierdzenia jest standardowy

Twierdzenie 3.2

Złóżenie odwzorowań afinicznych jest odwzorowaniem afinicznym. Jeśli odwzorowanie afiniczne jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest afiniczne.

Obraz podprzestrzeni afinicznej przez odwzorowanie afiniczne jest podprzestrzenią afiniczną.

Przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej przez odwzorowanie afiniczne jest podprzestrzenią afiniczną.

Przykład 3.3

Odwzorowanie identycznościowe przestrzeni afinicznej jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie identycznościowe.

Przykład 3.4

Odwzorowanie stałe, tzn. , gdzie jest ustalonym punktem przestrzeni , jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie zerowe. Przypomnijmy, że jedynym odwzorowaniem liniowym stałym jest odwzorowanie zerowe.

Przykład 3.5

Odwzorowanie liniowe przestrzeni wektorowej jest odwzorowaniem afinicznym indukującym samo siebie.

Przykład 3.6

Niech będzie ustalonym wektorem przestrzeni wektorowej . Zdefiniujmy odwzorowanie



Odwzorowanie to nazywa się translacją (lub przesunięciem równoległym) o wektor . Odwzorowanie to jest odwzorowaniem afinicznym indukującym identyczność przestrzeni .

Dla dwóch wektorów zachodzi równość . W szczególności .


Plik:Ag 14 3b.mp4
Translacja w


Niech będzie odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie liniowe . Załóżmy, że dane są punkty bazowe w i w .

Niech będzie takim wektorem, że . Dla każdego zachodzi wzór


     (3.7)


Z formuły (3.7) wynika, że każde odwzorowanie afiniczne przestrzeni wektorowych jest złożeniem odwzorowania liniowego i translacji w przestrzeni .

Taka sama konkluzja dotyczy sytuacji, gdy przestrzenie afiniczne wyposażymy w strukturę przestrzeni liniowych przez wybranie punktów bazowych.

Odwzorowanie afiniczne, tak jak i odwzorowanie liniowe, ma przedstawienie macierzowe. Niech będzie układem bazowym w zaś układem bazowym w .

Niech będzie macierzą przy danych bazach przestrzeni i .

Załóżmy, że punkt ma współrzędne , wektor ma współrzędne , zaś punkt współrzędne .

Macierzą odwzorowania afinicznego nazywamy macierz


     (3.8)


lub w skrócie


     (3.9)


Posługując się formułami rachunku macierzowego, otrzymujemy równość


     (3.10)


Macierz nazywamy częścią liniową macierzy afinicznej (3.9), zaś wektor jej częścią translacyjną. Przy tak ustalonej metodzie zapisu macierzy odwzorowań afinicznych stosują się odpowiednie reguły rachunku macierzowego.

Na przykład, złożeniu odwzorowań afinicznych odpowiada iloczyn ich macierzy


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \left [ \begin{array} {lr} \ \ \ A\ \ w\\ \ \ \ 0\ \ \ 1 \end{array} \right ] \left [\begin{array} {lr} \ \ \ B\ \ v\\ \ \ \ 0\ \ \ 1 \end{array} \right ]= \left [\begin{array} {lr} \ \ \ AB\ \ A(v)+w\\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \end{array} \right ]. }      (3.11)