Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 5: Macierze

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 5.1

Niech



Wyznaczyć .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.2

Dane są macierze



Obliczyć oraz .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.3

Niech



gdzie oraz . Wykazać, że macierz



jest odwrotna do .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.4

Dane są macierze



Wyznaczyć , , oraz . Zbadać, czy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.5

Niech



Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.6

Niech będą macierzami postaci



Wyznaczyć i dla .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.7

Niech będzie zbiorem tych wszystkich macierzy kwadratowych , które komutują z macierzą , gdzie



Innymi słowy


i) Sprawdzić, że jest podprzestrzenią przestrzeni .
ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni oraz podać jej wymiar.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.8

Ustalmy liczbę . Niech będzie macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy  i stoi na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny, gdzie . Dla danych liczb naturalnych , oraz liczby rzeczywistej definiujemy macierze kwadratowe , gdzie



innymi słowy macierz , to macierz jednostkowa, w której zamieniono miejscami wiersze o numerach  oraz , macierz , to macierz jednostkowa, w której do wiersza -tego dodano wiersz -ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą , natomiast macierz , to macierz jednostkowa, w której -ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą , czyli





Niech  będzie dowolną macierzą o  wierszach. Udowodnić, że

a) Macierz powstająca z macierzy  poprzez zamianę -tego i -tego wiersza miejscami jest równa .
b) Macierz powstająca z macierzy  poprzez dodanie do -tego wiersza -tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą  jest równa .
c) Macierz powstająca z macierzy  poprzez pomnożenie -tego wiersza przez liczbę rzeczywistą  jest równa .
Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 1

Mówimy, że macierz  jest w postaci schodkowej, jeżeli spełnione są następujące dwa warunki:

  1. Jeżeli pewien wiersz macierzy  składa się z samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
  2. W każdym niezerowym wierszu macierzy  pierwszy niezerowy element występuje w kolumnie o numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.



Przykład 1

1. Podane poniżej macierze są macierzami w postaci schodkowej


2. Podane poniżej macierze nie są macierzami w postaci schodkowej



Definicja 2

Operacją elementarną na wierszach macierzy nazywamy każdą z poniższych czynności:

  1. Przemnożenie dowolnego wiersza macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą.
  2. Zamiana dwóch wierszy miejscami.
  3. Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Definicja 3

Jeżeli  jest macierzą w postaci schodkowej, to każdą kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza nazywamy kolumną bazową.

Przykład 2

Kolumnami bazowymi dla następującej macierzy



są kolumny: pierwsza, trzecia i szósta.

Twierdzenie 5.1

Jeżeli  jest macierzą w postaci schodkowej, to rząd macierzy  jest równy liczbie kolumn bazowych.

Zadanie 5.9

Udowodnić twierdzenie 5.1.

Wskazówka
Rozwiązanie

Twierdzenie 5.2

Każdą macierz można przy pomocy operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej.

Dowód

Przeprowadzony przez nas dowód będzie konstruktywny, tzn. nie tylko uzasadnimy, że każda macierz może być przy pomocy operacji elementarnych przekształcona do postaci schodkowej, ale równocześnie podamy efektywny algorytm, opisujący krok po kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.

Niech będzie macierzą, którą będziemy przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący w macierzy  w -tym wierszu oraz -tej kolumnie przez , czyli



Jeżeli  jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub  ma tylko jeden wiersz to  jest macierzą w postaci schodkowej i teza jest w tych przypadkach spełniona.

Załóżmy zatem, że  jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch wierszach i  nie jest jeszcze w postaci schodkowej. Rozpatrzmy pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy, że jest to kolumna o numerze . Kolumna ta będzie pierwszą kolumną bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi , to zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze  zawiera wyrazy różne od zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza niezerowa kolumna ma numer  oraz wyraz stojący w pierwszym wierszu oraz kolumnie , oznaczony tu , jest różny od zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od -tego wiersza, gdzie wiersz pierwszy pomnożony przez . Zauważmy, że współczynnik stojący w -tym wierszu i kolumnie  w macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji elementarnej jest równy



Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do wszystkich wierszy macierzy od drugiego do -tego włącznie otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym w kolumnie  jest współczynnik stojący w pierwszym wierszu. Otrzymaliśmy macierz , którą schematycznie możemy zapisać tak:



Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.

Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy  poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych  kolumn. Oznaczmy ją przez .



Jeżeli macierz  będzie macierzą w postaci schodkowej, to widać, że macierz  będzie także w postaci schodkowej i nasz algorytm jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że macierz  może być przy pomocy operacji elementarnych na wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach  mogą uważana za operacje na wierszach , ponieważ wyrazy stojące w pierwszych  kolumnach w macierzy w wierszach od  do -tego są równe ). Jeżeli  jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy  sprowadzimy nasz problem do macierzy  liczącej od dwa wiersza mniej niż macierz . Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona jasne jest, że najdalej po krokach otrzymamy macierz w postaci schodkowej.

End of proof.gif

Twierdzenie 5.3

Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają rzędu macierzy.

Dowód

Wynika z modułów V i VI wykładu.

End of proof.gif

Wniosek 5.4

Aby obliczyć rząd macierzy  wystarczy sprowadzić ją przy pomocy operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę kolumn bazowych.