Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 11: Formy kwadratowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Odwzorowanie



nazywamy formą kwadratową, jeśli istnieje odwzorowanie dwuliniowe



takie, że



dla każdego . Mówimy, że odwzorowanie dwuliniowe indukuje formę kwadratową .

Udowodnimy najpierw następujący lemat

Lemat 0.1

Dla formy kwadratowej istnieje dokładnie jedno odwzorowanie dwuliniowe symetryczne indukujące .

Dowód

Niech będzie pewnym odwzorowaniem dwuliniowym indukującym . Zdefiniujmy odwzorowanie następująco



Odwzorowanie to jest dwuliniowe, symetryczne i indukuje . Zauważmy, że tutaj właśnie wykorzystaliśmy założenie, że charakterystyka ciała jest różna od .

Jedyność symetrycznego indukującego wykazujemy jak następuje.

Niech , będą odwzorowaniami dwuliniowymi symetrycznymi indukującymi . Wtedy jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym takim, że dla każdego . Wykorzystując dwuliniowość i symetrię otrzymujemy następujące równości



dla dowolnych wektorów . A zatem dla dowolnych . End of proof.gif

Jedyne dwuliniowe odwzorowanie symetryczne indukujące nazywa się odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową .

Dla odwzorowania dwuliniowego rozważamy odwzorowanie


     (0.1)


Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.

Od tego momentu zakładamy, że wszystkie rozważane w tym wykładzie przestrzenie są skończenie wymiarowe.

Plik:Ag11 1a.mp4
Macierz odwzorowania dwuliniowego

Niech będzie bazą przestrzeni zaś będzie jej bazą dualną. Znajdźmy macierz odwzorowania przy tak wybranych baz. Skorzystajmy ze wzoru (5.4) z Wykładu IV.

Otrzymujemy następujące równości



Oznacza to, że poszukiwana macierz jest równa macierzy . Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania dwuliniowego w bazie .


Jeżeli jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową , to macierz tę nazywa się macierzą formy kwadratowej przy bazie . Macierz formy kwadratowej jest symetryczna. Rząd tej macierzy jest rzędem odwzorowania liniowego i nazywa się rzędem formy kwadratowej .

Mając bazę przestrzeni i macierz formy kwadratowej możemy znaleźć wartość na dowolnym wektorze . Mianowicie, jeśli jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z , oraz , to


     (0.2)


Zobaczmy jeszcze, jak zmienia się macierz odwzorowania dwuliniowego, jeśli zmienimy bazę. Niech więc dane będą dwie bazy przestrzeni wektorowej : , . Niech będzie macierzą przejścia od bazy do bazy , tzn.



dla (porównaj rozdział 4. Wykładu VI). Jeśli jest odwzorowaniem dwuliniowym, to zachodzą następujące równości



A zatem przy zmianie bazy macierz odwzorowania dwuliniowego zmienia się według wzoru


     (0.3)


gdzie jest macierzą przy bazie , zaś jest macierzą przy bazie .

Co prawda udowodniliśmy już, że rząd macierzy nie zależy od wyboru bazy, ale warto zauważyć, że wynika to również z powyższego wzoru, bo jest macierzą nieosobliwą.

Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem

Celem tego rozdziału jest pokazanie, że w przestrzeni wektorowej nad ciałem , każda forma kwadratowa ma macierz szczególnie prostej postaci.

Rozważymy najpierw formy kwadratowe w przestrzeniach euklidesowych. Udowodnimy teraz twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie 1.1

Niech będzie formą kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Istnieje baza ortonormalna przestrzeni , przy której macierz formy kwadratowej jest diagonalna i , gdzie są wyrazami głównej przekątnej macierzy .

Dowód

Dowód twierdzenia jest indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni .

Dla twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla .

Niech będzie formą kwadratową na -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . W przestrzeni mamy naturalną topologię. Albo wprowadzimy ją przez normę (którą mamy, bo iloczyn skalarny definiuje normę), albo bierzemy dowolny izomorfizm liniowy i mówimy, że podzbiór przestrzeni jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w . Ponieważ każde odwzorowanie liniowe przestrzeni jest ciągłe, więc tak zdefiniowana topologia nie zależy od wyboru izomorfizmu . Tak czy inaczej, sfera jednostkowa



jest zbiorem zwartym a forma kwadratowa jest odwzorowaniem ciągłym na (porównaj wzór (0.2)).

A zatem istnieje wektor , w którym funkcja osiąga swoje maksimum. Niech będzie dopełnieniem ortogonalnym do podprzestrzeni . Podprzestrzeń jest -wymiarowa.

Na podstawie założenia indukcyjnego wiemy, że dla istnieje baza ortonormalna przestrzeni , przy której macierz jest diagonalna i wyrazy na głównej przekątnej tworzą ciąg niemalejący. Twierdzimy, że jest bazą spełniającą żądane warunki.

Po pierwsze jest oczywiście bazą ortonormalną i dla każdego , bo wszystkie należą do . Wystarczy teraz pokazać, że dla każdego . W tym celu, dla ustalonego wskaźnika , rozważmy funkcję



Wektor należy do dla każdego . Ponieważ osiąga w maksimum, więc funkcja osiąga maksimum w . Zatem . Mamy następujące równości



Łatwo stad wyliczyć, że



Wobec tego , co kończy dowód twierdzenia. End of proof.gif

Udowodnimy teraz twierdzenie o bezwładności form kwadratowych, zwane także twierdzeniem Sylvestera.

Twierdzenie 1.2 [Sylvestera]

Niech będzie -wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem . Dla każdej formy kwadratowej na istnieje baza , przy której macierz jest postaci blokowej



gdzie jest macierzą jednostkową o wymiarach na .

Liczby i nie zależą od wyboru bazy .

Dowód

Na przestrzeni wektorowej wprowadzamy dowolny iloczyn skalarny (porównaj Przykład 1.4 z Wykładu X) Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz formy jest taka, jak to opisano w poprzednim twierdzeniu. Uporządkujmy tę bazę tak, aby na głównej przekątnej najpierw (tzn. począwszy od lewego górnego rogu) pojawiły się wyrazy dodatnie, potem ujemne i na końcu wyrazy zerowe. Wystarczy teraz pomnożyć wektory bazy odpowiadające niezerowym wyrazom macierzy pomnożyć przez przez odpowiedni skalar. Jeśli , to zastępujemy wektorem

Udowodnimy teraz druga część twierdzenia. Widać, że jest rzędem formy kwadratowej , a zatem nie zależy od wyboru bazy. Załóżmy, że dla dwóch baz i spełniających tezę twierdzenia mamy pary liczb oraz odpowiednio. Wiemy, że . Wystarczy więc pokazać, że .

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że . Niech będzie podprzestrzenią wektorową generowaną przez wektory , zaś - podprzestrzenią generowaną przez wektory . Mamy następujący ciąg równości i nierówności



Wobec tego . Istnieje więc wektor . Niech i . Ponieważ , więc



Ponieważ , więc



Porównując te nierowności widzimy, że . Ponieważ , więc . Korzystając z tego, że , otrzymujemy, że , co jest sprzeczne z naszym założeniem. Dowód twierdzenia jest

zakończony. End of proof.gif

Z twierdzenia Sylvestera wynika, że przy pewnej bazie forma kwadratowa dana jest w postaci kanonicznej, tj. wyraża się wzorem


     (1.4)


dla .

Definicja 1.3 [Sygnatura]

Parę liczb nazywamy sygnaturą formy kwadratowej.

Mówimy, że forma kwadratowa jest półokreślona dodatnio, jeśli w powyższym przedstawieniu (1.4) są same plusy. Jeśli są same plusy i , to mówimy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona. Podobnie definiuje się formy półokreślone ujemnie i określone ujemnie. Forma kwadratowa nazywa się formą określoną, jeśli jest określona dodatnio lub ujemnie.

Niech będzie endomorfizmem. Mówimy, że odwzorowanie jest symetryczne, jeśli



dla każdych wektorów .

Niech będzie odwzorowaniem dwuliniowym (symetrycznym) zdefiniowanym formułą



Odwzorowanie to jest odwzorowaniem skojarzonym pewnej formy kwadratowej. Ze wzoru (1.4) z Wykładu XI i z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz odwzorowania jest diagonalna. Jest to bardzo szczególny przypadek endomorfizmu mającego bardzo prostą macierz Jordana.