Użytkownik:Opozda

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej w R^n.

Sylabus

Autorzy

  • Barbara Opozda
  • Małgorzata Downarowicz
  • Dominik Kwietniak

Wymagania wstępne

  • Podstawy logiki i teorii mnogości
  • Wiadomości ze szkoły.

Zawartość

  • Ciała i przestrzenie wektorowe:
    • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała,
    • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych,
    • definicja przestrzeni wektorowej,
    • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach,
    • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni,
    • przestrzeń dualna, baza dualna.
  • Odwzorowania liniowe:
    • definicja odwzorowania liniowego,
    • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego,
    • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm,
    • odwzorowanie dualne.
  • Macierze:
    • podstawowe pojęcia,
    • działania na macierzach,
    • macierz odwzorowania liniowego,
    • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych,
    • macierz dualna a odwzorowanie dualne,
    • rząd macierzy,
    • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy,
    • ślad macierzy i endomorfizmu.
  • Układy równań liniowych:
    • twierdzenie Kroneckera-Capellego,
    • zbiór rozwiązań układu równań liniowych,
    • badanie układu równań.
  • Algebra wieloliniowa, wyznacznik:
    • formy wieloliniowe antysymetryczne, przestrzeń wektorowa r-form,
    • mnożenie zewnętrzne form,
    • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika,
    • minory i rząd macierzy,
    • wzory Cramera,
    • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej.
  • Endomorfizmy:
    • wartość własna i wektor własny,
    • wielomian charakterystyczny,
    • bazy i macierze Jordana.
  • Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
    • iloczyn skalarny,
    • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny,
    • nierówność Schwarza,
    • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta,
    • macierz i wyznacznik Grama,
    • izometrie liniowe, macierz ortogonalna.
  • Geometria analityczna:
    • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna R^n,
    • układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych,
    • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych,
    • równoległość podprzestrzeni afinicznych,
    • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych,
    • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych,
    • odległość punktów i niektórych figur,
    • zbiory wypukłe,
    • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa,



Literatura

  1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN,Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
  2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
  3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
  4. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, PWN, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.



Moduły


Literatura uzupełniająca

opcjonalnie