Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Kombinacje liniowe, układy i zbiory liniowo niezależne, układy i zbiory generujące.

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem .

Kombinacją liniową wektorów nazywamy wyrażenie


     (1.1)


gdzie są skalarami z ciała . Wartością kombinacji liniowej (1.1) nazywamy wektor równy . Skalary nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej (1.1). Kombinację liniową nazywamy trywialną, jeśli wszystkie jej współczynniki są zerami. Kombinację liniową nazywamy zerową, jeśli jej wartość jest wektorem zerowym. Każda kombinacja liniowa trywialna jest zerowa. Oczywiście nie każda kombinacja zerowa jest trywialna. Na przykład, kombinacja liniowa jest zerowa i nietrywialna.

W praktyce mówimy, że wektor jest kombinacją liniową pewnych wektorów mając na myśli to, że jest wartością tej kombinacji.

Wprowadzimy teraz fundamentalne dla naszego wykładu pojęcie liniowej niezależności.

Definicja 1.1 [Liniowa niezależność]

Mówimy, że ciąg wektorów przestrzeni wektorowej jest liniowo niezależny, jeśli spełniona jest następująca implikacja:

Jeżeli dla pewnych skalarów , to wszystkie te skalary muszą być zerami.

Innymi słowy, ciąg jest liniowo niezależny, jeżeli każda jego kombinacja liniowa, która jest zerowa, jest trywialna. Kolejność wektorów w ciągu jest w tej definicji nieistotna. Zamiast mówić o ciągach liniowo niezależnych, mówimy o układach liniowo niezależnych. Słowo układ zawiera najczęściej w sobie informację, że kolejność jego elementów jest nieistotna. Mówimy też o zbiorach liniowo niezależnych. Jasne jest, co to znaczy, że skończony zbiór jest liniowo niezależny. Różnica między zbiorem skończonym a układem jest taka, że w układzie mogą się pojawić wektory jednakowe.

Zbiór pusty uznajemy za liniowo niezależny.

Mówimy, że dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) jest liniowo niezależny, jeśli każdy jego podzbiór skończony jest liniowo niezależny. Definicja taka nie prowadzi do żadnej sprzeczności z definicją liniowej niezależności w przypadku zbiorów skończonych, ponieważ zachodzi następujący lemat

Lemat 1.2 [Podukład]

Niech będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.

Dowód

Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów , gdzie . Niech . Wtedy



Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów dostajemy, że wszystkie współczynniki są zerami.

End of proof.gif

Mówimy, że wektory liniowo zależne, jeśli nie są liniowo niezależne. A zatem, wektory są liniowo zależne, jeśli istnieją skalary , nie wszystkie równe zeru takie, że . Wtedy pewien wektor wśród mianowicie każdy, przy którym współczynnik w kombinacji jest niezerowy) da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów. Przypuśćmy, że . Wtedy



Podkreślmy, że liniowa zależność wektorów nie oznacza, że każdy wektor wśród jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.

Plik:Ag3 1b.mp4
Liniowa zależność wektorów na płaszczyźnie

Każdy układ zawierający lub dwa jednakowe wektory jest liniowo zależny. Ponadto, układ dwóch wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są proporcjonalne, tzn. lub dla pewnych . Sprawdzenie tych faktów pozostawiamy jako ćwiczenie.

Niech teraz będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni . Bierzemy rodzinę wszystkich podprzestrzeni wektorowych zawierających podzbiór . Rodzina ta jest niepusta, bo cała przestrzeń należy do tej rodziny. A zatem przecięcie wszystkich zbiorów tej rodziny jest podprzestrzenią wektorową zawierającą (najmniejszą w sensie inkluzji). Oznaczmy tę podprzestrzeń symbolem . Jeżeli jest zbiorem pustym, wtedy . Jeżeli , to mówimy, że generuje (rozpina) podprzestrzeń . Oczywiście można też mówić o układzie i podprzestrzeni generowanej przez ten układ. Jest oczywiste, że jeśli , to . Jeśli jest podprzestrzenią wektorową, to , a zatem dla dowolnego podzbioru mamy równość .

Twierdzenie 1.3 [Span]

Niech będzie niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej . Wtedy


     (1.2)

Plik:Ag3 1c.mp4
Podprzestrzeń generowana przez zbiór

Dowód

Łatwo można sprawdzić, że zbiór znajdujący się po prawej stronie równości(1.2) jest podprzestrzenią wektorową zawierającą . A zatem zawiera się w tym zbiorze. Odwrotnie, jest oczywiste, że każdy element tego zbioru (wartość kombinacji liniowej pewnych wektorów zbioru ) jest elementem podprzestrzeni wektorowej .

End of proof.gif

W dalszym ciągu będziemy wykorzystywali następujące lematy.

Lemat 1.4

Niech będą wektorami liniowo niezależnymi i . Wtedy wektory są liniowo niezależne.

Dowód

Niech



Gdyby , to wektor byłby kombinacją liniową wektorów , a zatem należałby do , co byłoby sprzeczne z założeniem. A więc i w konsekwencji mamy zerową kombinację liniową wektorów liniowo niezależnych . A zatem wszystkie , ..., są zerami.

End of proof.gif

Lemat 1.5

Niech wektor będzie kombinacją liniową wektorów , t.j. , dla pewnych skalarów . Jeżeli , to



Dowód

Ponieważ jest kombinacją liniową wektorów , więc .

Z drugiej strony, ponieważ , więc



Zatem każda kombinacja liniowa wektorów jest też kombinacją liniową wektorów .

End of proof.gif

Twierdzenie 1.6

Niech , będą wektorami przestrzeni . Jeżeli są liniowo niezależne oraz , to .

Dowód

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że . Wektor jest kombinacja liniową wektorów . Po ewentualnym spermutowaniu wektorów , możemy przyjąć, że w tej kombinacji współczynnik przy jest różny od . Z powyższego lematu mamy, że



Ponieważ należy do tej przestrzeni, więc jest kombinacją liniową wektorów . W kombinacji tej przynajmniej jeden ze współczynników przy wektorach musi być różny od zera. W przeciwnym bowiem przypadku, byłyby liniowo zależne. Po ewentualnym spermutowaniu wektorów możemy założyć, że współczynnik przy jest różny od zera. A zatem, korzystając z Lematu 1.5, dostajemy, że



Postępujemy podobnie dalej, tzn. zastępujemy kolejne wektory wektorami . Ponieważ założyliśmy, że , więc dochodzimy do sytuacji, gdy . Oznacza to sprzeczność, gdyż wektor musiałby być kombinacją liniową wektorów .

End of proof.gif

Baza i wymiar przestrzeni

Wprowadzimy teraz kolejne fundamentalne dla naszego wykładu pojęcie.

Definicja 2.1 [Baza]

Mówimy, że podzbiór (lub układ, lub ciąg) przestrzeni wektorowej jest bazą tej przestrzeni, jeśli jest liniowo niezależny i generuje .

Bazą przestrzeni zerowej jest zbiór pusty.

Twierdzenie 2.2 [Baza]

Załóżmy, że wektory generują przestrzeń wektorową . Z wektorów można wybrać bazę przestrzeni .

Dowód

Weźmy wszystkie podukłady układu i wśród tych, które są liniowo niezależne, wybierzmy maksymalny, czyli o maksymalnej długości. (Taki podukład nie musi być jedyny.) Możemy założyć, że jest takim podukładem. Twierdzimy, że jest to baza . Gdyby bowiem nie była to baza, to któryś z pozostałych wektorów , powiedzmy , nie byłby kombinacją liniową wektorów . A zatem wektory byłyby liniowo niezależne, na podstawie Lematu 1.4. Oznacza to, że podukład nie byłby maksymalnym podukładem liniowo niezależnym.

End of proof.gif

Definicja 2.3 [Skończona wymiarowość]

Mówimy, że przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa, jeśli ma skończony układ generujący.}

Z powyższych twierdzeń wynika następujący wniosek

Twierdzenie 2.4

Przestrzeń skończenie wymiarowa ma bazę.

Wykażemy ponadto

Twierdzenie 2.5

W przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie bazy są równoliczne, czyli mają tyle samo elementów.

Dowód

Niech będzie skończoną bazą przestrzeni , a zatem, skończonym zbiorem generującym . Załóżmy, że jest inną bazą tej przestrzeni. Wtedy każdy skończony podzbiór jest liniowo niezależny. Z Twierdzenia 1.6 wynika, że każdy taki podzbiór ma co najwyżej elementów. Oznacza to, że zbiór jest skończony i ma co najwyżej elementów. Zamieńmy teraz rolami bazy i . Potraktujmy jako zbiór generujący , zaś jako zbiór liniowo niezależny. I znowu z Twierdzenia 1.6 wynika, że zbiór ma co najwyżej tyle elementów co zbiór .

End of proof.gif

Na podstawie powyższego twierdzenia możemy podać następującą definicję wymiaru przestrzeni skończenie wymiarowej.

Definicja 2.6 [Wymiar]

Wymiarem przestrzeni skończenie wymiarowej nazywamy liczbę wektorów pewnej (lub, co na jedno wychodzi, każdej) bazy tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni oznaczamy symbolem .

Kolejne twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją powyższych rozważań.

Wniosek 2.7

Przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma bazę skończoną. Jeżeli jest bazą przestrzeni , to każdy wektor przestrzeni da się w sposób jednoznaczny przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów .

Dowód

Sprawdźmy jednoznaczność w ostatniej tezie. Jeśli jest ustaloną bazą i oraz , to . Z liniowej niezależności wektorów bazy dostajemy, że dla każdego .

End of proof.gif

Jeżeli mamy bazę przestrzeni wektorowej i wektor , to skalary nazywamy współrzędnymi wektora w bazie .

Najważniejszym i najłatwiejszym przykładem bazy jest tak zwana baza kanoniczna przestrzeni . Mianowicie, baza ta jest ciągiem



Bardzo często kolejność wektorów bazy jest istotna. Aby to podkreślić, mówimy, że baza jest uporządkowana. Baza kanoniczna jest uporządkowana w naturalny sposób.

Twierdzenie 2.8

Niech będzie układem liniowo niezależnym w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej . Układ ten można uzupełnić do bazy, a zatem istnieje baza przestrzeni zawierająca dany układ liniowo niezależny.

Dowód

Niech . Jeżeli , to istnieje wektor w , który nie należy do . Wtedy, na podstawie Lematu 1.4, zbiór jest liniowo niezależny. Jeśli zbiór ten nie jest bazą , postępujemy tak jak poprzednio. To znaczy, bierzemy wektor i dołączamy go do poprzednich wektorów. Postępując tak skończoną ilość razy otrzymujemy bazę przestrzeni .

End of proof.gif

Z twierdzenia tego wynika natychmiast

Wniosek 2.9

Każda podprzestrzeń przestrzeni skończenie wymiarowej jest skończenie wymiarowa i jej wymiar jest nie większy od wymiaru przestrzeni . Bazę przestrzeni można wybrać w ten sposób, że pierwsze jej wektory stanowią bazę podprzestrzeni .

Dowód

Niech będzie bazą przestrzeni . Baza ta jest zbiorem liniowo niezależnym w , a zatem, na podstawie Twierdzenia 2.8, można ten zbiór uzupełnić do bazy całej przestrzeni . End of proof.gif

Zauważmy jeszcze, że jeśli jest przestrzenią skończenie wymiarową a jest jej podprzestrzenią taką, że , to . Istotnie, wybierzmy pewną, powiedzmy -elementową, bazę przestrzeni . Rozrzerzmy ją do bazy przestrzeni wektorowej . Ale ta rozrzerzona baza też musi mieć elementów, a zatem wybrana baza przestrzeni jest też bazą przestrzeni . To oczywiście implikuje, że .

Jeżeli mamy zbiór (lub układ wektorów) przestrzeni wektorowej i podprzestrzeń jest skończenie wymiarowa, to rzędem nazywamy liczbę . Rząd oznaczać będziemy symbolem .

Twierdzenie 2.10

Niech , będą podprzestrzeniami przestrzeni skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej . Zachodzi wtedy wzór



Dowód

Wiemy już, że przestrzenie , , są skończenie wymiarowe.

Niech będzie bazą . Na podstawie Twierdzenia 2.8 wiemy, że układ ten można rozszerzyć do bazy przestrzeni oraz do bazy przestrzeni .

Oznaczmy te bazy przez oraz odpowiednio. Twierdzimy, że zbiór

End of proof.gif

     (2.3)


jest bazą przestrzeni .

Sprawdźmy najpierw generowanie. Niech . Wtedy , gdzie i . Istnieją skalary oraz takie, że




Wobec tego




Sprawdzimy teraz liniową niezależność układu (2.3). Niech


     (2.4)


Oznaczmy przez wektor , zaś przez wektor . Wtedy . Wektor należy do , a wektor do . A zatem obydwa te wektory należą do podprzestrzeni . Oznacza to, że i w konsekwencji mamy



Z liniowej niezależności układu dostajemy, że skalary są równe zeru. Wracając teraz do równości (2.4) i korzystając z liniowej niezależności układu otrzymujemy, że są również równe zeru. Dowód został zakończony.


Wróćmy teraz do pojęcia sumy prostej zdefiniowanego w poprzednim wykładzie.

Na podstawie Twierdzenia 2.10 mamy

Wniosek 2.11

Jeśli jest skończenie wymiarowa i , to .

Mamy ponadto

Twierdzenie 2.12

Niech będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową a jej podprzestrzenią. Istnieje wtedy dopełnienie algebraiczne do .

Dowód

Niech będzie bazą . Rozszerzmy ten układ do do bazy przestrzeni . Oznaczmy tę rozszerzoną bazę przez Oznaczmy przez przestrzeń rozpiętą na wektorach . Wtedy .

End of proof.gif

Zauważmy, że dopełnienie algebraiczne nie jest wyznaczone jednoznacznie.

Zakończymy ten wykład uwagami o przestrzeniach nieskończenie wymiarowych.

Przestrzeń nazywa się przestrzenią nieskończenie wymiarową, jeśli nie jest skończenie wymiarowa. Mamy następujący lemat

Lemat 2.13

Jeśli przestrzeń zawiera nieskończony zbiór wektorów liniowo niezależnych, to jest nieskończenie wymiarowa.

Dowód

Gdyby przestrzeń była skończenie wymiarowa, to na podstawie Twierdzenia 1.6, każdy zbiór liniowo niezależny tej przestrzeni byłby skończony.

End of proof.gif

Dowodzi się, co wykracza poza ramy tego wykładu, że w każdej przestrzeni wektorowej (również nieskończenie wymiarowej) istnieje baza i wszystkie bazy danej przestrzeni są równoliczne (czyli bijektywne).