Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Minory i rząd macierzy. Macierz odwrotna

Ponieważ w wykładzie tym intensywnie będziemy korzystać z poprzedniego wykładu, musimy dokonać tych samych wstępnych ustaleń, a mianowicie, zakładamy, że wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem o charakterystyce różnej od .

Niech dana będzie macierz . Wiemy, że rząd tej macierzy jest równy rzędowi układu kolumn tej macierzy. Jest też równy rzędowi układu wierszy tej macierzy, bo rząd macierzy jest równy rzędowi macierzy dualnej. Wiemy też, że rząd układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z tego układu wektorów.

Wprowadzimy teraz pojęcie minora macierzy. Niech będzie pewną liczbą naturalną nie większą od i . Ustalmy ciągi wskaźników , . Oznaczmy przez



macierz powstałą przez wybór wyrazów stojących na przecięciu wierszy o numerach i kolumn o numerach . Otrzymujemy macierz kwadratową o wymiarach na . Wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywamy minorem rzędu macierzy .

Plik:Ag8 1a.mp4
Podmacierz i minor macierzy

Następujący lemat będzie przydatny w dalszych rozumowaniach.

Lemat 1.1

Kolumny są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie wskaźniki , że .

Dowód

Załóżmy najpierw, że kolumny są liniowo niezależne. Wtedy macierz składająca się tylko z tych kolumn ma rząd równy . Ponieważ rząd macierzy danej jest równy rzędowi macierzy dualnej, więc wsród wierszy macierzy istnieje liniowo niezależnych wektorów. Niech będą to wiersze o numerach . Oznacza to, że w macierzy wiersze o numerach są liniowo niezależne, czyli rząd tej macierzy jest równy . A zatem .

Załóżmy teraz, że . Wtedy wiersze tej macierzy są liniowo niezależne. A zatem rząd macierzy jest równy (bo nie może być większy). Oznacza to, że kolumn tej macierzy stanowi układ liniowo niezależny. End of proof.gif

Z powyższego lematu wynika natychmiast następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.2

Dla dowolnej macierzy jej rząd jest równy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy minor rządu tej macierzy i każdy minor rzędu większego od jest zerowy.

Przed udowodnieniem kolejnego twierdzenia przypomnijmy, że dla macierzy wprowadziliśmy wielkości , gdzie jest macierzą otrzymaną z macierzy przez wykreślenie -tego wiersza i -tej kolumny.

Twierdzenie 1.3

Niech będzie macierzą odwracalną i niech oznacza jej macierz odwrotną. Wtedy



Dowód

Wystarczy sprawdzić, że . Niech i . Korzystając z rozwinięcia Laplace'a otrzymujemy



gdzie jest macierzą powstałą z macierzy przez zastąpienie -tego wiersza -tym wierszem. Jeśli , to macierz jest równa macierzy . Jeśli , to w macierzy są dwa takie same wiersze. A zatem i w konsekwencji .

End of proof.gif
Plik:Ag8 1b.mp4
Macierz odwrotna
Plik:Ag8 1c.mp4
Macierz odwrotna do macierzy wymiaru

Układy równań liniowych

Układem równań liniowych nazywamy układ równań


     (2.1)


gdzie są niewiadomymi, zaś , , gdzie ; są skalarami z pewnego ciała . Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy ciąg , który spełnia (2.1). Skalary nazywają się współczynnikami układu równań. Skalary nazywają się wyrazami wolnymi układu (2.1). Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, układ równań (2.1) nazywa się jednorodnym. Układ taki rozważaliśmy już w Wykładzie II. W przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny. Współczynniki układu (2.1) stanowią macierz o wierszach i kolumnach. Wyrazy wolne układamy w jednokolumnową macierz



Podobnie, niewiadome ułożymy w jednokolumnową macierz



Układ równań (2.1) można teraz zapisać w postaci macierzowej


     (2.2)


Jeżeli w układzie równań (2.1) zastąpimy wyrazy wolne zerami, to otrzymujemy tzw. układ jednorodny skojarzony z (2.1)


     (2.3)


Traktując macierz jako odwzorowanie


     (2.4)


widzimy, że jądrem tego odwzorowania jest zbiór rozwiązań układu jednorodnego (2.3). A zatem zbiór rozwiązań układu jednorodnego jest podprzestrzenią wektorową . Na podstawie twierdzenia opisującego relację wymiaru jądra i wymiaru obrazu danego odwzorowania liniowego wiemy, że wymiar tej przestrzeni jest równy . Oznaczmy tę przestrzeń przez . Niech teraz będzie pewnym rozwiązaniem układu (2.1). Niech będzie dowolnym rozwiązaniem układu skojarzonego (2.3). Wtedy



jest również rozwiązaniem układu (2.1).

Jeśli teraz mamy dwa rozwiązania , układu (2.1), to ciąg jest rozwiązaniem układu (2.3). Udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Jeżeli układ równań (2.1) ma rozwiązanie oraz



jest pewnym rozwiązaniem (2.1), to zbiór wszystkich rozwiązań układu (2.1) jest równy zbiorowi



gdzie jest zbiorem wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (2.3). Przestrzeń jest -wymiarowa, gdzie .

W twierdzeniu powyższym zakłada się, że istnieje rozwiązanie układu równań (2.1). O ile układ jednorodny zawsze posiada rozwiązanie, bo, na przykład, ciąg jest rozwiązaniem takiego układu, o tyle układ niejednorodny niekoniecznie ma rozwiązanie. Proste kryterium rozwiązywalności układu niejednorodnego daje następujące twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie 2.2

Układ równań (2.1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy



gdzie jest macierzą utworzoną z macierzy przez dopisanie do niej kolumny wyrazów wolnych.

Plik:Ag8 2b.mp4
Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Dowód

Oznaczmy przez kolumny macierzy . Układ równań (2.1) jest równoważny równaniu


     (2.5)


Załóżmy najpierw, że układ (2.5) ma rozwiązanie. A zatem jest kombinacją liniową wektorów . Oznacza to, że . Odwrotnie, załóżmy, że . Wtedy wektor musi być kombinacją liniową wektorów , a zatem istnieją skalary takie, że , co oznacza, że (2.5) ma rozwiązanie. End of proof.gif

Macierz , o której mówi się w powyższym twierdzeniu, nazywa się macierzą rozszerzoną układu (2.1).

Twierdzenie Kroneckera-Capellego dotyczy każdego układu równań, tzn. liczba równań i liczba niewiadomych mogą być dowolne. Kolejne twierdzenie, twierdzenie Cramera, dotyczy tylko tych układów, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.

Twierdzenie 2.3

Niech dany będzie układ równań


     (2.6)


taki, że . Wtedy układ (2.6) ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest dane wzorami


     (2.7)


dla , gdzie jest macierzą otrzymaną z macierzy przez zastąpienie -tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Plik:Ag8 2c.mp4
Wzory Cramera

Dowód

Rozważmy postać macierzową układu (2.6). Mamy więc równanie macierzowe . Obłóżmy obustronnie to równanie przez . Ponieważ , macierz odwrotna istnieje. Mamy więc



Wykorzystamy teraz wzory na wyrazy macierzy odwrotnej. Oznaczmy wyrazy tej macierzy przez . A zatem .

Mamy następujące równości



Ostatnia równość wynika z rozwinięcia Laplace'a wyznacznika. W ten sposób udowodniliśmy istnienie rozwiązania, jego jedyność i wzory(2.7), które nazywają się wzorami Cramera. End of proof.gif

Ustalmy jeszcze, jakie operacje można wykonać na układzie równań, aby otrzymać układ równoważny, tzn. taki, który ma dokładnie taki sam zbiór rozwiązań. Na pewno można równania permutować. Poza tym do danego równania można dodać kombinację liniową pozostałych równań. Każde równanie można pomnożyć przez niezerowy skalar. Wymienione operacje służą do rozwiązywania układów równań liniowych tzw. metodą Gaussa, która będzie omówiona na ćwiczeniach.