Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 4: Odwzorowania liniowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Definicja odwzorowania liniowego

Definicja 1.1 [Odwzorowanie liniowe]

Niech , będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech będzie odwzorowaniem. Mówimy, że jest liniowe, jeśli spełnione są następujące warunki

L 1) dla każdych wektorów ,

L 2) dla każdych i .

Własność pierwszą nazywamy addytywnością odwzorowania , drugą - jednorodnością .

Zespół warunków L 1) i L 2) można zastąpić jednym z następujących warunków L 3) lub L4).

L 3) Dla każdych i dla każdych zachodzi równość .

L 4) Dla każdych skalarów , wektorów i każdego , zachodzi równość



Dowód równoważności warunków L 3) i L 4) polega na zastosowaniu indukcji.

Zauważmy od razu, że , gdzie jest dowolnym wektorem przestrzeni . A zatem, dla odwzorowania liniowego zawsze mamy .

Przykład 1.2

Odwzorowanie stale równe zeru jest liniowe. Odwzorowanie identycznościowe dowolnej przestrzeni wektorowej na siebie jest liniowe. Odwzorowanie to oznaczać będziemy przez .

Przykład 1.3

Weźmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych na przedziale o wartościach w . Odwzorowanie



jest odwzorowaniem liniowym.

Podobny przykład otrzymuje się dla całki oznaczonej.

Rozważmy jeszcze przestrzeń funkcji różniczkowalnych na przedziale i odwzorowanie przyporządkowujące funkcji z jej pochodną. Odwzorowanie to jest liniowe.

Plik:Ag4 1a.mp4
Sprzężenie w nie jest liniowe

Przykład 1.4

Rozważmy odwzorowanie . Jeśli potraktujemy odwzorowanie jako odwzorowanie przestrzeni wektorowych nad ciałem , to odwzorowanie to nie jest liniowe, bo nie jest jednorodne.

Jeśli jednak potraktujemy jako przestrzeń wektorową nad ciałem , to odwzorowanie jest liniowe. Mówimy, że jest -liniowe, ale nie jest -liniowe.

Własności odwzorowań liniowych. Obraz i jądro.

Omówimy teraz podstawowe własności odwzorowań liniowych.

Twierdzenie 2.1

Złożenie odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Jeśli odwzorowanie liniowe jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest też liniowe.

Dowód

Tezy pierwszej dowodzi się bezpośrednim rachunkiem, co zostawiamy czytelnikowi. Dla sprawdzenia drugiej tezy ustalmy, że jest liniową bijekcją. Niech . Wtedy istnieją jedne jedyne wektory takie, że i . Zatem i . Niech będą dowolnymi skalarami. Zachodzą równości



End of proof.gif


Istotne cechy odwzorowań liniowych, często wykorzystywane w dalszej części wykładu, opisują następujące lematy

Lemat 2.2

Niech będzie zbiorem generującym przestrzeń i odwzorowania będą liniowe. Jeśli , to .

Dowód

Niech będzie dowolnym wektorem. Istnieją wektory ze zbioru oraz skalary takie, że . Ponieważ obydwa odwzorowania i są liniowe, więc .

End of proof.gif

Lemat 2.3

Niech będzie bazą przestrzeni i będzie dowolnym odwzorowaniem.

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe takie, że

Dowód

Dla dowolnego istnieją wektory należące do bazy i skalary takie, że . Wybór wektorów z bazy i skalarów jest jednoznaczny. A zatem zadane formułą

End of proof.gif

     (2.1)


jest dobrze określone. Łatwo sprawdzić, że jest liniowe. Jest też oczywiste, że musi być zadane formułą (2.1). Stąd jedyność (lub z poprzedniego lematu).

Ostatni lemat mówi, że odwzorowanie liniowe może być zadane na bazie. Lemat dotyczy także przestrzeni nieskończenie wymiarowych.

Twierdzenie 2.4

Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli jest podprzestrzenią , to obraz podprzestrzeni przez odwzorowanie f, czyli , jest podprzestrzenią . Jeżeli jest podprzestrzenią , to przeciwobraz podprzestrzeni przez odwzorowanie , czyli , jest podprzestrzenią .

Dowód

Jeżeli , to i dla pewnych . Zatem i . Ponieważ , więc dla dowolnego skalara .

Niech . Wtedy i, w konsekwencji, . Zatem . Podobnie dla dowolnego .

End of proof.gif

Dla odwzorowania liniowego definiuje się dwie ważne podprzestrzenie - obraz i jądro odwzorowania liniowego.

Definicja 2.5 [Jądro odwzorowania]

Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Jądrem odwzorowania nazywamy podprzestrzeń . Jądro oznaczamy symbolem . Obrazem nazywamy podprzestrzeń przestrzeni . Przestrzeń tę oznaczamy . Wymiar przestrzeni nazywamy rzędem odwzorowania i oznaczamy .

Plik:Ag4 2b.mp4
Rzutowanie równolegle do podprzestrzeni

Przykład 2.6

Jeśli dana jest suma prosta , to rzutowanie na U równolegle do jest liniowe. Ponadto oraz .

Kolejny lemat wykorzystamy w dalszej części wykładu.

Lemat 2.7

Jeśli zbiór generuje przestrzeń i jest odwzorowaniem liniowym, to generuje przestrzeń .

Dowód

Oczywiście , a więc . Niech i niech będzie takim wektorem, że . Istnieją skalary oraz wektory takie, że . Zatem .

End of proof.gif

Monomorfizmy. epimorfizmy, izomorfizmy

Definicja 3.1 [Monomorfizm]

Niech będzie odwzorowaniem liniowym Odwzorowanie nazywa się monomorfizmem, jeśli jest różnowartościowe. Odwzorowanie nazywa się epimorfizmem, jeśli jest surjekcją. Odwzorowanie, które jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem (czyli liniowa bijekcja) nazywa się izomorfizmem.

Podamy teraz łatwe, ale bardzo ważne, twierdzenie charakteryzujące monomorfizmy.

Twierdzenie 3.2

Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie to jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy .

Dowód

Oczywiście . Niech będzie monomorfizmem. Jeśli , to . Oznacza to, że jedynym elementem zbioru jest wektor zerowy. Odwrotnie, jeśli składa się tylko z elementu zerowego i , to , a więc . Ponieważ , więc . Zatem jest różnowartościowe.

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie zawiera pewną charakteryzację monomorfizmów, epimorfizmów i izomorfizmów.

Twierdzenie 3.3

Niech będzie odwzorowaniem liniowym.

  1. Jeżeli jest monomorfizmem, to przekształca każdy zbiór liniowo niezależny na zbiór liniowo niezależny.
  2. Jeżeli przekształca injektywnie pewną bazę przestrzeni na zbiór liniowo niezależny, to jest monomorfizmem.
  3. Jeżeli jest epimorfizmem, to przekształca każdy zbiór generujący na zbiór generujący przestrzeń .
  4. Jeżeli przekształca pewien zbiór generujący na zbiór generujący , to jest epimorfizmem.
  5. Jeżeli jest izomorfizmem, to przekształca każdą bazę przestrzeni na bazę przestrzeni .
  6. Jeżeli przekształca injektywnie pewną bazę przestrzeni na bazę przestrzeni , to jest izomorfizmem.

Dowód

Rozważmy implikację 1.

Niech będzie zbiorem liniowo niezależnym w . Niech będą różnymi między sobą wektorami z takimi, że . Istnieją (różne między sobą, bo jest injekcją) takie, że . Mamy równości: . Ponieważ jest monomorfizmem, więc . Wobec tego, ponieważ są liniowo niezależne, wszystkie , dla , są równe zeru.

Dla dowodu drugiej implikacji, załóżmy, że jest bazą przestrzeni , przekształconą injektywnie na zbiór liniowo niezależny. Niech . Istnieją skalary oraz wektory takie, że . Mamy więc równość: . Ponieważ jest injekcją na bazie, więc wektory są różne między sobą. A zatem jest skończonym podzbiorem . Jest liniowo niezależny, a więc wszystkie skalary ,..., są równe i, w konsekwencji, .

Dowód pozostałych implikacji zostawiamy czytelnikowi.

End of proof.gif

Założenie w implikacji 2. w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych można sformułować tak:

Dla pewnej bazy przestrzeni układ jest liniowo niezależny.

Podobnie formułuje się założenie w implikacji 6.

Z powyższego twierdzenia, a także z dobrze już znanych faktów, że w skończenie wymiarowej przestrzeni każdy układ liniowo niezależny można uzupełnić do bazy i z każdego układu generatorów można wybrać bazę, dostajemy natychmiast

Wniosek 3.4

Niech będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi tego samego wymiaru. Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Następujące warunki są równoważne

  1. f jest monomorfizmem.
  2. f jest epimorfizmem.
  3. f jest izomorfizmem.

Z twierdzenia (3.3) wynika także

Wniosek 3.5

Jeżeli jest izomorfizmem liniowym i przestrzeń jest skończenie wymiarowa, to jest też skończenie wymiarowa oraz .

Rząd odwzorowania liniowego

Kolejne twierdzenie opisuje ważny związek między wymiarami jądra i obrazu danego odwzorowania liniowego.

Twierdzenie 4.1

Niech będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli jest skończenie wymiarowa, to



Dowód

Jeżeli lub , twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że i . Niech będzie bazą . Rozszerzmy tę bazę do bazy całej przestrzeni . Niech będzie bazą rozszerzoną. Twierdzimy, że wektory stanowią bazę przestrzeni .

Sprawdźmy najpierw, że wektory te generują przestrzeń . Jeśli , to istnieje taki, że . Wektor da się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy , tzn. . Zatem



Aby sprawdzić liniową niezależność tych wektorów, załóżmy, że



dla pewnych skalarów . Wtedy , czyli . Wobec tego istnieją skalary takie, że



Ponieważ układ wektorów jest liniowo niezależny, wszystkie skalary w powyższej równości, w szczególności skalary , są równe .

End of proof.gif

Z Twierdzenia 2.7 otrzymujemy natychmiast

Wniosek 4.2

Niech i będą skończenie wymiarowe. Dla odwzorowania liniowego jego rząd spełnia nierówność



Przestrzeń dualna

Przypomnijmy sobie Przykład 7. z Wykładu 2. Wiemy z niego, że ogół odwzorowań prowadzących z niepustego zbioru do przestrzeni wektorowej jest przestrzenią wektorową z działaniami wprowadzonymi w Przykładzie 7. Przypomnijmy, że




dla , i . Niech będą, jak w całym tym wykładzie, przestrzeniami wektorowymi nad jednym ciałem i - odwzorowaniami liniowymi. Łatwo widać, że suma tych odwzorowań, a także iloczyn odwzorowania liniowego przez skalar są odwzorowaniami liniowymi. Zatem ogół odwzorowań liniowych z przestrzeni do stanowi podprzestrzeń wektorową przestrzeni .

Rozważmy sytuację szczególną. Za weźmy ciało . Przestrzeń odwzorowań liniowych prowadzących z do oznaczmy przez . Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią dualną do . A zatem



Załóżmy teraz, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa i ma wymiar . Niech będzie bazą tej przestrzeni. Zdefiniujemy ciąg elementów przestrzeni następująco. Pamiętając o tym, że odwzorowanie liniowe możemy zadać na bazie, określamy


     (5.2)


gdzie jest tzw. deltą Kroneckera. Symbol ten zdefiniowany jest następująco: dla oraz dla .

Udowodnimy teraz

Twierdzenie 5.1

Ciąg jest bazą przestrzeni .

Dowód

Układ jest liniowo niezależny. Istotnie, niech

End of proof.gif


     (5.3)


Zero występujące z prawej strony tej równości oznacza odwzorowanie tożsamościowo równe zeru. Oznaczmy przez odwzorowanie określone przez lewą stroną równości (5.3). Dla każdego mamy . W szczególności dla każdego wektora bazy mamy . Wstawiając do obu stron równości (5.3) kolejne wektory bazy stwierdzamy, że ,..., są równe zeru.

Aby stwierdzić że stanowię zbiór generatorów przestrzeni wystarczy sprawdzić, że dla każdego mamy


     (5.4)


Dla sprawdzenia tej równości, wystarczy porównać wartości odwzorowań liniowych znajdujących się po obydwu jej stronach na kolejnych wektorach bazy .

Formuła (5.4) jest sama w sobie ważna i bardzo pożyteczna.

Zauważmy jeszcze, że jeśli jest liniowe, to

definiując odwzorowanie

formułą



otrzymujemy odwzorowanie liniowe. Sprawdzenie zostawiamy czytelnikowi. Odwzorowanie to nazywamy odwzorowaniem dualnym (lub transponowanym) do .

Korzystając bezpośrednio z definicji odwzorowania dualnego, łatwo sprawdzić następujący fakt

Twierdzenie 5.2

Niech będą odwzorowaniami liniowymi. Zachodzi równość odwzorowań