Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 10.1

Niech będzie dane wzorem



Zbadać, czy jest iloczynem skalarnym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.2

Niech



Zbadać, czy jest iloczynem skalarnym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.3

Niech będzie przestrzenią liniową euklidesową. Wykazać, że wtedy i tylko wtedy, gdy . Zilustrować geometrycznie tę równoważność.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.4

Niech będzie przestrzenią liniową euklidesową. Wykazać, że wtedy i tylko wtedy, gdy



Zilustrować geometrycznie tę równoważność.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.5

Niech będzie przestrzenią liniową euklidesową. Wykazać, że dla dowolnych wektorów zachodzi równość



Zilustrować geometrycznie powyższą równość.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.6

W przestrzeni , ze standardowym iloczynem skalarnym, dane są wektory



Wykazać, że wektory i są ortonormalne. Niech



Znaleźć dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni  w .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.7

Niech . Rozważmy odwzorowanie



Sprawdzić, czy jest izometrią, gdy w  mamy standardowy iloczyn skalarny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 10.8

W ze standardowym iloczynem skalarnym zortonomalizować metodą Grama - Schmidta bazę złożoną z wektorów , , .

Wskazówka
Rozwiązanie