Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 7: Wyznacznik

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Odwzorowania wieloliniowe

Niech będzie -wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Niech dane będzie odwzorowanie . Mówimy, że odwzorowanie jest k-liniowe, jeśli dla każdego oraz dla dowolnie ustalonych wektorów odwzorowanie



jest liniowe. Na przykład, odwzorowanie jest -liniowe. Zbiór wszystkich odwzorowań -liniowych oznaczmy przez . W naturalny sposób (tak jak w Przykładzie 7. Wykładu I) zbiór ten jest wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej.

Mówimy, że odwzorowanie jest antysymetryczne, jeśli dla każdej permutacji ciągu zachodzi wzór



gdzie oznacza znak permutacji . Podobnie definiuje się odwzorowanie symetryczne. Mianowicie, jest symetryczne, jeśli dla każdej permutacji zachodzi równość.



Wyżej wspomniane mnożenie liczb rzeczywistych jest k-liniowe symetryczne.

W niniejszym wykładzie odwzorowania antysymetryczne będą odgrywać główną rolę. Zacznijmy od następującego lematu.

Lemat 1.1

Dla odwzorowania -liniowego następujace warunki są równoważne.

  1. jest antysymetryczne,
  2. dla dowolnych wektorów takich, że dwa spośród są jednakowe.
  3. Jeśli są liniowo zależne, to .

Dowód

Załóżmy 1. Niech wektory będą jednakowe w ciągu wektorów . Niech oznacza permutację, która zamienia na . Znak tej permutacji jest równy . Po zastosowaniu tej permutacji ciąg wektorów nie ulega zmianie. Wobec tego . Z drugiej strony



Dodajmy do obu stron tej równości . Dostajemy równość



Wynika stąd, że , bo ciało ma charakterystykę różną od 2.

Odwrotnie, jeśli spełnia warunek 2), to dla każdych wektorów i dla każdych , mamy



Stąd, że spełnia warunek 2. oraz z -liniowości odwzorowania dostajemy



Ponieważ każda permutacja jest złóżeniem pewnej liczby transpozycji i znak permutacji jest równy , więc jest antysymetryczne.

Załóżmy, że spełniony jest warunek 2. Jeśli ciąg jest liniowo zależny, to pewien wektor z tego ciągu jest kombinacją liniową pozostałych wektorów. Korzystając z -liniowości i z warunku 2. dostajemy natychmiast, że . Na koniec, załóżmy 3). Jeśli, któreś wektory w ciągu są równe, to ciąg jest liniowo zależny , a zatem . Dowód lematu jest zakończony.

End of proof.gif

Jest oczywiste, że suma odwzorowań -liniowych antysymetrycznych jest odwzorowaniem -liniowym antysymetrycznym i odwzorowanie -liniowe antysymetryczne pomnożone przez skalar jest też antysymetryczne. A zatem ogół odwzorowań antysymetrycznych stanowi podprzestrzeń przestrzeni . Oznaczmy tę podprzestrzeń przez . Elementy przestrzeni nazywamy też -formami na przestrzeni . Choć teoria -form jest ważna i interesująca, na potrzeby naszego wykładu zajmiemy się tylko szczególnymi przypadkami, tzn. szczególnymi przypadkami . Po pierwsze, znamy już przestrzeń 1-form. Przestrzenią tą jest przestrzeń dualna , 1-formami odwzorowania liniowe określone na i o wartościach w ciele .

Zajmiemy się teraz -formami, gdzie .

Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej i . Niech . Każdy z tych wektorów przedstawimy jako kombinację liniową wektorów bazy. A zatem dla każdego . Korzystając z Lematu 1.1 otrzymujemy następujące równości



Ponieważ ciąg różnowartościowy jest permutacją ciągu , więc dostajemy



gdzie oznacza zbiór wszystkich permutacji ciągu . Ostatecznie, dla każdego , zachodzi wzór


     (1.1)


Skalar



nie zależy od . A zatem przestrzeń jest 1-wymiarowa i każda -forma jest wyznaczona jednoznacznie przez zdefiniowanie dla dowolnie wybranej bazy .

Wyznacznik macierzy. Podstawowe własnosci

W przypadku, gdy mamy bazę kanoniczną tej przestrzeni. Każda -forma na może być zadana na bazie kanonicznej.

Rozważmy teraz przestrzeń . Przypomnijmy, że jest to przestrzeń wszystkich macierzy kwadratowych o wymiarach na i o wyrazach w ciele . Niech . Niech oznaczają kolumny macierzy. Kolumny są wektorami przestrzeni . Macierz możemy traktować jako ciąg kolumn . Na podstawie wyżej przeprowadzonych rozważań, możemy stwierdzić prawdziwość następującego twierdzenia

Twierdzenie 2.1

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie -liniowe antysymetryczne



takie, że , gdzie jest bazą kanoniczną przestrzeni .

Odwzorowanie nazywa się wyznacznikiem i oznacza symbolem .

Symbol oznacza wartość odwzorowania na ciągu kolumn macierzy .

Podkreślamy, że wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Na podstawie formuły (1.1) otrzymujemy natychmiast następujący wzór na wyznacznik macierzy

     (2.2)

Przykład 2.2

Niech dana będzie baza przestrzeni wektorowej . Niech będzie macierzą przejścia od bazy do bazy . Widać od razu, że .

Dowiedziemy teraz kilku podstawowych własności wyznacznika.

Twierdzenie 2.3

Dla dowolnych macierzy zachodzi wzór

     (2.3)


Dowód

Niech i . Wiemy, że wyrazy macierzy wyrażają się wzorem

End of proof.gif


     (2.4)


Niech oznaczają kolumny macierzy zaś - kolumny macierzy . Na podstawie formuły (2.4 ) mamy wzór


     (2.5)


Otrzymujemy następujące równości



Korzystając z definicji wyznacznika, łatwo widać, że wyznacznik macierzy jednostkowej jest równy . A zatem, jeśli jest macierzą odwracalną, to



Oznacza to, że macierz odwracalna ma wyznacznik różny on zera, a wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy danej. Mamy więc wzór


     (2.6)


dla macierzy odwracalnej . Macierz, której wyznacznik jest różny od zera nazywa się macierzą nieosobliwą.

Załóżmy teraz, że macierz ma niezerowy wyznacznik. Wtedy kolumny macierzy , jako wektory przestrzeni są liniowo niezależne (na podstawie (Lematu 1.1). Oznacza to, że, jeśli potraktujemy jako odwzorowanie liniowe z do , to jest izomorfizmem. A zatem macierz jest odwracalna. Mamy więc

Twierdzenie 2.4

Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

Twierdzenie 2.5

Jeżeli , to .

Dowód

Oznaczmy przez macierz dualną do . A zatem . Mamy



Dla każdej permutacji weźmy . Jeśli , to . Zatem iloczyn jest równy iloczynowi (po ewentualnym spermutowaniu czynników). Ponieważ odwzorowanie jest bijekcją i dla każdej permutacji zachodzi równość , zatem


End of proof.gif


Z powyższego twierdzenia dostajemy następujący wzór na wyznacznik macierzy


     (2.7)


Wyznacznik jest -liniową antysymetryczną funkcją wierszy.

Zauważmy teraz, że jeśli w macierzy do pewnej kolumny (lub pewnego wiersza) dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn (lub pozostałych wierszy), to wyznacznik macierzy się nie zmieni. Wynika to z wieloliniowości wyznacznika i z warunku 2. Lematu 1.1. Jeśli zamienimy miejscami dwie kolumny (lub dwa wiersze), to wyznacznik zmieni swój znak. Jeśli pewną kolumnę macierzy pomnożymy przez skalar , to dla otrzymanej w ten sposób macierzy mamy wzór . W szczególności, wymienione właśnie operacje na macierzach są takie, że, po ich zastosowaniu do danej macierzy, wyznacznik macierzy się nie zmieni lub łatwo kontrolujemy ewentualne zmiany wyznacznika tej macierzy. Mówimy, że są to operacje elementarne (lub dopuszczalne ze względu na wyznacznik). Oczywiście sensowne jest mnożenie wierszy lub kolumn przez skalary różne od .

Udowodnimy teraz pewną pożyteczną rachunkową własność wyznacznika.

Twierdzenie 2.6

Niech , , zaś oznacza zerową macierz z . Zachodzi wzór

     (2.8)


Dowód

Dla ustalonych macierzy i rozważmy następujące odwzorowanie



Odwzorowanie , jako odwzorowanie rzędów macierzy jest -liniowe i antysymetryczne. A zatem, na podstawie rozważań z początku tego wykładu, wiemy, że



gdzie jest macierzą jednostkową. Pokażemy, że . Ustalmy macierz i rozważmy odwzorowanie



Traktując to odwzorowanie jako odwzorowanie kolumn macierzy , widzimy, że odwzorowanie to jest -liniowe antysymetryczne. A zatem, tak jak wyżej, dostajemy



Wystarczy teraz udowodnić, że



gdzie w odpowiednim miejscu oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru. Ostatni wzór zostawiamy jako ćwiczenie.

End of proof.gif

W szczególności, zachodzi wzór


     (2.9)

gdzie .

Udowodnimy teraz twierdzenie o tzw. rozwinięciu Laplace'a względem -tej kolumny.

Twierdzenie 2.7

Niech . Dla każdego ustalonego wskaźnika () zachodzi wzór


     (2.10)


gdzie oznacza wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy powstałej z macierzy przez wykreślenie -tego wiersza i -tej kolumny, pomnożony przez .

Dowód

Niech będą kolumnami macierzy . Macierz traktujemy jako ciąg kolumn, tzn. . Jeśli jest bazą kanoniczną przestrzeni , to



Zatem, pamiętając o tym, że wyznacznik jest -liniową antysymetryczną funkcją kolumn, dostajemy



Wystarczy zauważyć, że



W tym celu przesuńmy -tą kolumnę macierzy w lewo na pierwsze miejsce. Wykonujemy transpozycji. W tak otrzymanej macierzy przesuńmy -ty wiersz na pierwsze miejsce. W tym celu dokonujemy transpozycji. Po tych operacjach dostajemy macierz postaci



gdzie jest macierzą otrzymaną z macierzy przez wykreślenie -tego wiersza i -tej kolumny.

Korzystając ze wzoru (2.9) otrzymujemy



End of proof.gif

Na podstawie Twierdzenia 2.5 otrzymujemy wzory na rozwinięcie Laplace'a względem -tego wiersza.

Twierdzenie 2.8

Niech . Dla każdego ustalonego wskaźnika () zachodzi wzór


     (2.11)