Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 15.1

Dane są dwa punkty: i . Na odcinku zbudowano równoległobok, którego przekątne przecinają się w punkcie . Napisać równania boków i przekątnych równoległoboku.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.2

W przestrzeni dana jest płaszczyzna . Wiadomo, że punkt należy do oraz że kierunkiem jest , gdzie , . Zapisać w postaci normalnej oraz obliczyć odległość punktu od tej płaszczyzny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.3

W przestrzeni ze standardowym iloczynem skalarnym dane są płaszczyzny



Niech oznacza prostą powstałą w wyniku przecięcia się płaszczyzn  oraz . Wyznaczyć płaszczyznę prostopadłą do prostej  i przecinającą ją w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.4

W przestrzeni afinicznej dana jest płaszczyzna



oraz punkt . Obliczyć odległość punktu  od płaszczyzny . Wyznaczyć płaszczyznę równoległą do  i zawierającą punkt . Wyznaczyć prostą prostopadłą do , zawierającą punkt .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.5

Dany jest czworościan o wierzchołkach



Obliczyć jego objętość oraz wysokość opuszczoną na ścianę . Obliczyć pole trójkąta .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.6

Wykazać, że punkty



leżą w jednej płaszczyźnie. Napisać równanie normalne tej płaszczyzny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.7

Znaleźć wartość parametru , przy której prosta o przedstawieniu parametrycznym



jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 15.8

W przestrzeni znaleźć analityczny wzór opisujący rzut prostopadły na płaszczyznę oraz wyznaczyć rzut prostopadły punktu na tę płaszczyznę.

Wskazówka
Rozwiązanie