Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 3.1

Niech i będą dowolnymi wektorami należącymi do przestrzeni wektorowej nad ciałem . Wykazać, że wektory  i  są liniowo zależne w przestrzeni  wtedy i tylko wtedy, gdy


     (*)

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.2

W zbadać liniową niezależność wektorów

a) oraz ;
b) , i ;
c) , i .
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.3

Wykazać, że wektory , i tworzą bazę przestrzeni . Wyznaczyć podprzestrzeń przestrzeni generowaną przez wektory i . Zapisać lin w postaci



przy stosownie dobranych .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.4

W przedstawić wektor jako kombinację liniową wektorów z bazy kanonicznej.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.5

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Dane są wektory należące do przestrzeni . Definiujemy wektory



Wykazać, że wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są liniowo niezależne.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.6

W przestrzeni wektorowej zbadać liniową niezależność wektorów , , i przedstawić wektor jako kombinację liniową wektorów  i . Czy dowolny wektor przestrzeni można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów  i ?

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.7

Niech będzie następującą podprzestrzenią przestrzeni :



Dany jest wektor . Wykazać, że i znaleźć bazę podprzestrzeni  zawierającą wektor . Wyznaczyć wymiar podprzestrzeni  i znaleźć chociaż jedno jej dopełnienie algebraiczne.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 3.8

Niech oraz dla . Wykazać, że dla dowolnego wektory tworzą bazę przestrzeni jest wielomianem stopnia nie większego niż .

Wskazówka
Rozwiązanie