Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 2: Przestrzenie wektorowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 2.1

Niech . Definiujemy odwzorowania:




Wykazać, że czwórka jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.2

W zbiorze określamy następujące działania:



Sprawdzić, czy czwórka jest przestrzenią wektorową. Sprawdzić, czy jej podprzestrzenią jest

a) ,
b) ,
c) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.3

W zbiorze określamy następujące działania:



Sprawdzić, czy czwórka jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.4

Niech oraz oznaczają zwykłe dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych. Definiujemy działanie:



Sprawdzić, czy czwórka jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.5

Niech będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech oznacza wektor zerowy. Wykazać, że dla dowolnego wektora i dla dowolnego skalara mamy

a) ,
b) ,
c) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.6

Niech będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech  oraz  będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że



też jest podprzestrzenią przestrzeni . Wykazać, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni zawierająca  i .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.7

Niech będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech  oraz  będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni  wtedy i tylko wtedy, gdy lub

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.8

Niech będzie dowolną przestrzenią wektorową oraz niech  będzie zbiorem niepustym. W zbiorze



wprowadzamy działanie wewnętrzne oraz mnożenie przez skalary w następujący sposób:



Wykazać, że jest przestrzenią wektorową.

Dowód Komentarz

W szczególności, jeśli , to okaże się, że przestrzenią wektorową jest czwórka , a jeśli dodatkowo jako weźmiemy zbiór , gdzie jest liczbą naturalną dodatnią, to natychmiast otrzymamy, że przestrzenią wektorową jest z działaniami określonymi następująco:



End of proof.gif
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.9

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych i niech  oznacza standardowe dodawanie w grupie addytywnej . Dla liczby zespolonej oraz elementu definiujemy iloczyn



Wykazać, że jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 2.10

Niech i niech


    jest wielomianem 
    jest wielomianem stopnia  
    jest wielomianem stopnia nie większego niż  

Wykazać, że jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni z działaniami określonymi w zadaniu 2.8. Sprawdzić czy dla dowolnego

a) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ,
b) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .


Wskazówka
Rozwiązanie