Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 13: Przestrzenie afiniczne I

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Definicja przestrzeni afinicznej. Własności

Niech będzie zbiorem niepustym a przestrzenią wektorową nad ciałem . Załóżmy, że dane są dwie operacje (odwzorowania)


     (1.1)


     (1.2)


Znak "plus" jest tutaj symbolem użytym w nowym znaczeniu. Mamy ciągle "plus" oznaczający dodawanie w przestrzeni wektorowej i "plus" oznaczający dodawanie w ciele. Z kontekstu zawsze wynika, co oznacza "plus" pojawiający się w danej formule.

Mówimy, że jest przestrzenią afiniczną o kierunku , jeśli spełnione są dwa następujące warunki

A1) Dla każdych , zachodzi równoważność: wtedy i tylko wtedy, gdy .

A2) Dla każdych .

Elementy przestrzeni afinicznej nazywamy punktami. Odwzorowanie (1.1) nazywa się wyznaczaniem wektora przez parę punktów. Odwzorowanie (1.2) nazywa się zaczepianiem wektora w punkcie.

Przestrzeń afiniczną zapisujemy także jako parę . Używamy także określenia przestrzeń afiniczna nad . Wymiarem przestrzeni afinicznej nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej i oznaczamy .

Zbierzmy na początek kilka podstawowych własności przestrzeni afinicznych.

Twierdzenie 1.1

Dla każdych punktów i każdych wektorów zachodzą następujące warunki:

  1. ,
  2. , gdzie jest wektorem zerowym w .
  3. wtedy i tylko wtedy, gdy ,
  4. ,
  5. wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ,
  6. wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie, że ,
  7. ,
  8. .

Dowód

1) Korzystając z A2) otrzymujemy równość


Dodając do obu stron otrzymujemy żądaną równość.

2) Korzystając z A1) i udowodnionej już własności 1) dostajemy

równość , bo .

3) Z aksjomatu A1) i udowodnionej już własności 2) wiemy, że wtedy i tylko wtedy, gdy .
4) Z aksjomatu A2) i własności 1) otrzymujemy równości
5) i 6) Następująca implikacja jest oczywista.

Jeśli , to dla każdego punktu zachodzi równość .

Udowodnimy implikację:

Jeśli istnieje punkt taki, że , to .

Korzystając z własności 4) i aksjomatu A2) dostajemy implikacje



Z własności 3) mamy równość .

7) Korzystając z aksjomatu A2) otrzymujemy równość


Stosując teraz A1) dostajemy



8) Na podstawie 6) wiemy, że wtedy i tylko wtedy, gdy


Lewa strona ostatniej równości jest równa (na podstawie własności 6) i 1))



Dla prawej strony zachodzą równości (również na podstawie 6) i 1))


9) Wykorzystując udowodnione już własności otrzymujemy
End of proof.gif


Z własności 8) wynika, że możemy stosować zapis .

Przykład 1.2

Każda przestrzeń wektorowa jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą. Operacje zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów dane są następująco. Dla




W ostatnim wzorze z lewej strony mamy zaczepianie wektora w punkcie , z prawej strony dodawanie wektorów w .

Przykład 1.3

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową .

Przykład 1.4

Najlepiej znanym przykładem przestrzeni afinicznej jest przykład znany ze szkoły. Mianowicie, płaszczyzna lub trójwymiarowa przestrzeń fizyczna ze znanymi ze szkoły operacjami zaczepiania wektora swobodnego w punkcie i wyznaczania wektora swobodnego przez parę punktów są oczywiście przestrzeniami afinicznymi. Płaszczyzna i trójwymiarowa przestrzeń fizyczna są zbiorami punktów. Proponujemy, aby czytelnik prześledził na tym przykładzie wszystkie własności z Twierdzenia 1.1. Własności te w większości wydają się całkiem oczywiste, ale pamiętajmy, że definicja przestrzeni afinicznej (tak samo zresztą jak definicje przestrzeni wektorowej, ciała czy grupy) jest definicją aksjomatyczną i wszystkie własności tej struktury, choćby wydawały się najbardziej oczywiste, muszą być wywiedzione z aksjomatów.

Punkt bazowy, układ bazowy

Ustalmy pewien punkt w przestrzeni afinicznej . Punkt ten nazwiemy punktem bazowym. Rozważmy odwzorowanie


     (2.3)


Odwzorowanie to jest bijekcją. Istotnie, odwzorowanie odwrotne dane jest formułą



Ponieważ jest bijekcją, więc możemy przenieść strukturę przestrzeni wektorowej z na . Robimy to tak, aby odwzorowanie było izomorfizmem liniowym, tzn. definiujemy działania w następująco:

Dla punkt jest równy takiemu punktowi , że .

Dla i punkt zdefiniowany jest jako punkt taki, że

Innymi słowy,




Łatwy eksperyment pokazuje, że struktura przestrzeni wektorowej na wprowadzona przez zadanie punktu bazowego, w istotny sposób zależy od tego punktu.

Niech teraz dany będzie punkt bazowy i baza przestrzeni wektorowej . Załóżmy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa i jest daną bazą tej przestrzeni.

Układ nazywamy układem bazowym przestrzeni afinicznej . Układ bazowy nazywa się też układem współrzędnych. Punkt jest początkiem tego układu zaś są wektorami wyznaczającymi osie współrzędnych. Taki układ współrzędnych nazywa się ukośnokątnym układem współrzędnych (dla podkreślenia, że nie musi to być układ prostokątny). Na razie zresztą nie mamy pojęcia prostopadłości w przestrzeni afinicznej.

Mając dany układ bazowy każdemu punktowi możemy przyporządkować ciąg współrzędnych wektora w bazie , tzn. . Ciąg ten nazywamy współrzędnymi punktu w danym układzie bazowym (układzie współrzędnych).


Afiniczna niezależność punktów

Niech będzie przestrzenią afiniczną i zbiorem punktów przestrzeni . Oznaczmy jeden z elementów zbioru wskaźników przez . Mówimy, że zbiór jest afinicznie niezależny, jeśli zbiór wektorów



jest liniowo niezależny. Definicja ta zależy a priori od wyboru punktu . Za chwilę wykażemy, że zależność ta jest tylko pozorna.

Zbiór punktów nazywa się afinicznie zależnym, jeśli nie jest afinicznie niezależny. Podobne definicje afinicznej zależności i niezależności obowiązują dla układu punktów. Dwa punkty są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są równe. Pojedynczy punkt uważamy za afinicznie niezależny.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Niech będzie punktem bazowym przestrzeni afinicznej . Punkty są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skalary nie wszystkie równe zeru takie, że oraz


     (3.4)


Dowód

Załóżmy najpierw, że są afinicznie zależne, czyli są liniowo zależne. Istnieją więc skalary nie wszystkie równe zeru, takie, że



Zdefiniujmy . Zachodzą równości



Odwrotnie załóżmy, że istnieją skalary nie wszystkie równe zeru, których suma jest równa zeru i takie, że

Zachodzą następujące równości



Ponieważ nie wszystkie skalary są równe zeru a ich suma jest równa zeru, więc wśród skalarów istnieje skalar niezerowy. A zatem są liniowo zależne, co kończy dowód twierdzenia.

End of proof.gif

Warunek w powyższym twierdzeniu zależy a priori od wyboru punktu bazowego, ale nie zależy od wyboru . W definicji punkt bazowy w ogóle się nie pojawia. Ponieważ warunek definicyjny i warunek z twierdzenia są sobie równoważne afiniczna zależność nie zależy ani od wyboru punktu , ani od wyboru punktu bazowego.

W -wymiarowej przestrzeni afinicznej może istnieć co najwyżej punktów afinicznie niezależnych. Na fizycznej płaszczyźnie każde trzy niewspółliniowe punkty są afinicznie niezależne i każda większa liczba punktów stanowi zbiór afinicznie zależny.

Ustalmy pewien układ bazowy w przestrzeni afinicznej . Jeśli dane są punkty , i ich współrzędne , w danym układzie bazowym, to wektor ma współrzędne w bazie .

Niech dane będą punkty i niech



będą współrzędnymi punktu , dla , w danym układzie bazowym.

Mamy następujące równości



Wektory , , są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy



Udowodniliśmy

Twierdzenie 3.2

Punkty , , są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy



Podobnie uzasadnia się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3

Punkty , , są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy