Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wyznacznik, ślad, wartość własna, wielomian charakterystyczny endomorfizmu i macierzy

W wykładzie tym zakładamy, że wszystkie przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem o charakterystyce równej .

Mówimy, że macierze kwadratowe są podobne, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa , dla której . Macierze podobne mają ten sam wyznacznik, bo


Zdefiniujemy teraz ślad macierzy. Tak jak wyznacznik, ślad macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Dla macierzy definiujemy jej ślad jako sumę jej wyrazów leżących na głównej przekątnej, to znaczy



Odwzorowanie



jest liniowe.

Pamiętamy, że mnożenie macierzy jest na ogół nieprzemienne. Mamy natomiast następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych macierzy zachodzi równość



Dowód

Niech , . Oznaczmy przez macierz i przez macierz . Mamy następujące równości


End of proof.gif


Z twierdzenia tego wynika, że macierze podobne mają taki sam ślad. Istotnie, .

Niech będzie endomorfizmem. Niech ; będą bazami przestrzeni . Jeśli jest macierzą przy bazie zaś jest macierzą przy bazie , to , gdzie jest macierzą przejścia od bazy do bazy . A zatem . Oznacza to, że niżej wprowadzona definicja ma sens, tzn. nie zależy od wyboru bazy .

Definicja 1.2

Wyznacznikiem endomorfizmu nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy tego endomorfizmu.

Podobnie definiuje się ślad endomorfizmu. Mianowicie, mając endomorfizm bierzemy dowolną jego macierz (tzn. macierz przy dowolnej bazie) i definiujemy jako . Definicja nie zależy od wyboru bazy, bo macierze podobne mają ten sam ślad.

Wprowadzimy teraz kolejne definicje.

Definicja 1.3

Mówimy, że skalar jest wartością własną endomorfizmu , jeśli istnieje niezerowy wektor taki, że . Każdy taki wektor nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej .

Definiuje się też wartości własne i wektory własne macierzy

Definicja 1.4

Mówimy, że skalar jest wartością własną macierzy , jeśli istnieje niezerowy wektor taki, że . Każdy taki wektor nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej .

W powyższej równości wektor jest traktowany jako -kolumnowa macierz.

Istotną cechę wektorów i wartości własnych opisuje następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.5

Jeżeli są różnymi między sobą wartościami własnymi endomorfizmu i są wektorami własnymi odpowiadającymi tym wartościom własnym, to wektory są liniowo niezależne.

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na . Dla twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy, że jest prawdziwe dla liczb mniejszych od pewnego .

Przypuśćmy, że wektory spełniają założenia twierdzenia i wektory te są liniowo zależne. Możemy założyć, że jest kombinacją liniową wektorów . Niech



Nie wszystkie są równe zeru. Możemy przyjąć, że . Obłóżmy powyższą równość przez . Wtedy



Z drugiej strony



Zatem



Ponieważ są liniowo niezależne i , więc . Jest to sprzeczne z założeniem, że są różne miedzy sobą. End of proof.gif

Mamy następujące twierdzenie charakteryzujące wartości własne.

Twierdzenie 1.6

Skalar jest wartością własną endomorfizmu wtedy i tylko wtedy, gdy



gdzie jest odwzorowaniem identycznościowym przestrzeni .

Dowód

Jeżeli jest wartością własną i jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej , to , czyli odwzorowanie nie jest monomorfizmem. A zatem . Odwrotnie, jeśli , to nie jest monomorfizmem, a zatem istnieje niezerowy wektor taki, że . Oznacza to, że jest wartością własną a jest wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej. End of proof.gif

Wybierzmy bazę przestrzeni . Niech będzie macierzą przy tej bazie. Wtedy, dla każdego mamy .

Jest jasne, jeśli skorzystamy na przykład ze wzoru na wyznacznik macierzy z Wykładu VII, tzn. ze wzoru


     (1.1)


że , traktowany jako funkcja argumentu jest wielomianem stopnia . Wielomian ten nazywamy wielomianem charakterystycznym endomorfizmu . Oznaczmy go przez . W wielomianie tym współczynnik przy jest równy , wyraz wolny jest równy , zaś współczynnik przy jest równy . Istotnie, wstawiając za wartość dostajemy wyraz wolny wielomianu , czyli wyraz wolny jest równy . Wielomian możemy zapisać jako



gdzie jest wielomianem stopnia mniejszego lub równego . Widać stąd, że współczynnik przy jest równy . Zauważmy jednak, że wielomian jest stopnia silnie mniejszego od . Istotnie, ciągle mając na uwadze wzór (1.1), widzimy, że składniki zawierające mogą powstać tylko przy pomnożeniu wyrazów macierzy leżących na głównej przekątnej. Ale permutacja -elementowego zbioru, która jest identycznością na elementach jest identycznością na całym zbiorze. Oznacza to, że składniki wielomianu zawierające powstają tylko z iloczynu . Teraz łatwo widać, że współczynnik przy jest równy .

Podprzestrzenie niezmiennicze. Baza i macierz Jordana.

Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni . Mówimy, że podprzestrzeń ta jest -niezmiennicza (dokładniej mówiąc, niezmiennicza ze względu na ), jeśli . Jeśli jest podprzestrzenią -niezmienniczą, to po zawężeniu do dostajemy endomorfizm przestrzeni . Oznaczmy go przez . Endomorfizm ten ma swój wielomian charakterystyczny . Zachodzi następujący lemat.

Lemat 2.1

Jeżeli jest podprzestrzenią -niezmienniczą, to wielomian charakterystyczny dzieli wielomian charakterystyczny .

Dowód

Niech będzie bazą przestrzeni . Rozszerzamy ją do bazy przestrzeni . Macierz endomorfizmu w tej bazie ma postać blokową



gdzie jest macierzą w bazie . Mamy wtedy (na podstawie Twierdzenia 2.6 z Wykładu VII)


End of proof.gif


Macierzą Jordana nazywa się macierz postaci


     (2.2)


gdzie , ..., są macierzami kwadratowymi postaci


     (2.3)


dla . Macierze nazywamy klatkami Jordana. Jeżeli macierz jest jedna klatką Jordana (2.3) o wymiarach na , to . Oczywiście jest wartością własną macierzy .

Zwróćmy uwagę na to, że klatki mogą też być wymiaru .

Każda klatka odpowiada pewnej wartości własnej macierzy . Dla danej wartości własnej odpowiadające jej klatki mogą mieć różne wymiary. Klatek w danym wymiarze też może być dowolna ilość.

Przypuśćmy, że dla danego endomorfizmu istnieje taka baza , przy której macierz tego endomorfizmu jest macierzą Jordana. Poukładajmy klatki tej macierzy tak, aby na początku (tzn. począwszy od lewego górnego rogu macierzy) były klatki odpowiadające wartości własnej - najpierw wymiaru 11, potem wymiaru 22, potem 33, etc. Po klatkach odpowiadających wartości własnej , umieszczamy klatki odpowiadające pozostałym wartościom własnym. Dla każdej wartości własnej układamy klatki od najmniejszych do największych. Takie ukladanie klatek odpowiada permutowaniu bazy . Macierz po takim układaniu jest ciągle macierzą Jordana endomorfizmu , a spermutowana baza jest bazą Jordana dla . Bazę tę oznaczmy przez .

Obserwując macierz łatwo odczytać pewne cechy odwzorowania .

Dla ustalonej klatki mamy pewien ciąg wektorów bazy Jordana odpowiadający tej klatce. Ciąg taki zaczyna się od wektora własnego. Każdy wektor własny z bazy odpowiadający jakiejś wartości własnej rozpoczyna pewien ciąg wektorów (może być 1-wyrazowy) odpowiadający jednej klatce macierzy Jordana.

Z bazy Jordana można wybrać bazę podprzestrzeni . Wektory tej bazy to wektory odpowiadające wszystkim klatkom 11 dla wartości własnej oraz pierwsze wektory (oczywiście ciągle z bazy ) odpowiadające wszystkim kolejnym klatkom Jordana dla wartości własnej .

Z bazy można wybrać bazę podprzestrzeni . W szczególności wszystkie wektory bazy , które odpowiadają klatkom dla niezerowych wartości własnych stanowią część takiej bazy.

Ostatnie wektory ciągów odpowiadających poszczególnym klatkom Jordana i wartości własnej rozpinają podprzestrzeń dopełniajacą do . Bierzemy tu pod uwagę wszystkie klatki Jordana odpowiadające wartości własnej .

Udowodnimy teraz twierdzenie Jordana.

Twierdzenie 2.2 [Jordana]

Niech będzie endomorfizmem, dla którego wielomian charakterystyczny rozkłada się na iloczyn czynników stopnia 1. Istnieje baza Jordana dla .

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni . Jeśli , to twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla przestrzeni wymiaru mniejszego od . End of proof.gif

Załóżmy najpierw, że nie jest monomorfizmem, czyli . Podprzestrzeń jest -niezmiennicza. Niech będzie zawężeniem do . Wielomian charakterystyczny dla dzieli wielomian charakterystyczny dla . Zatem rozkłada się na iloczyn czynników stopnia 1. Możemy zastosować założenie indukcyjne dla edomorfizmu przestrzeni . Niech i będzie bazą Jordana dla . Jeżeli , to do bazy dopisujemy dowolną bazę podprzestrzeni i mamy bazę Jordana dla .

Załóżmy teraz, że . Oczywiście . Z bazy Jordana wybieramy bazę przestrzeni . Niech będzie to ciąg . Wszystkie te wektory są wektorami własnymi odpowiadającymi wartości własnej . Każdy z nich rozpoczyna pewien ciąg wektorów odpowiadający jednej klatce Jordana endomorfizmu . Oznaczmy przez ostatnie wektory tych ciągów. Ponieważ wektory te należą do , więc istnieją wektory takie, że



Bierzemy uzupełnienie ciągu do bazy przestrzeni .

Twierdzimy, że ciąg


     (2.4)


jest bazą przestrzeni . Wektorów tych jest , a zatem wystarczy sprawdzić ich liniową niezależność.

Niech


     (2.5)


Obłóżmy tę równość przez . Dostajemy równość


     (2.6)


Korzystając z uwagi poprzedzającej dowodzone twierdzenie wiemy, że obie strony równości (2.6) muszą być zerami. A zatem są równe zeru. Wracamy teraz do równości (2.5). Mamy


     (2.7)


Zatem



Pamiętając o tym, jak zostały wybrane wektory , otrzymujemy, że . Wynika stąd, że . Wracając teraz do równości (2.7) otrzymujemy, że .

Na koniec zauważmy, że baza 2.4 jest bazą Jordana dla . Widać to natychmiast, jeśli ułożymy ją następująco. Na początku



a potem pozostałe wektory ciągu w takiej kolejności jak były.

Jeśli nie jest wartością własną endomorfizmu ( jest monomorfizmem), to weźmy pewną wartość własną . Ponieważ wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki stopnia 1, wartość własna istnieje. Zamiast rozważmy endomorfizm . Na podstawie powyższego dowodu wiemy, że istnieje baza Jordana dla . Baza Jordana dla jest też bazą Jordana dla .

Wniosek 2.3

Dla każdego endomorfizmu przestrzeni zespolonej istnieje baza i macierz Jordana.