Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 1: Grupy i ciała

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 1.1

Sprawdzić, która z wymienionych par jest grupą:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. , gdzie ,
  8. ,
  9. ,
  10. ,
  11. , gdzie .


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.2

Niech będzie dany zbiór dwuelementowy . W zbiorze  definiujemy działanie wewnętrzne  w następujący sposób:



Wykazać, że jest grupą przemienną.


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.3

W zbiorze definiujemy działanie  kładąc dla :



Sprawdzić, czy para jest grupą.


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.4

Niech . Dla kładziemy



Wykazać, że jest działaniem wewnętrznym w zbiorze i sprawdzić, czy jest grupą.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.5

Niech i będą dowolnymi grupami. W iloczynie kartezjańskim określamy działanie w następujący sposób



Wykazać, że jest też grupą. Jeżeli założymy, że  i  są grupami przemiennymi, to jest grupą przemienną.


Dowód Komentarz

W szczególności, jeśli , a rozpatrywanym działaniem w obu grupach jest zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych, to grupą jest para , gdzie jest "dodawaniem po współrzędnych", tzn.



End of proof.gif
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.6

Niech będzie dowolną grupą (przemienną), a  zbiorem niepustym. W zbiorze



wprowadzamy działanie  w następujący sposób:



Wykazać, że jest grupą (przemienną).

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.7

Niech będzie dowolną grupą i niech będzie dowolnie ustalonym elementem. Wykazać, że odwzorowanie jest bijekcją.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.8

Rozważmy zbiór dwuelementowy z dwoma działaniami wewnętrznymi:

i) dodawaniem określonym równościami



ii) mnożeniem określonym równościami



Wykazać, że jest ciałem.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.9

Rozważmy grupę addytywną określoną w zadaniu 1.5. Określamy mnożenie



Wykazać, że jest ciałem.

Dodatkowo wykazać, że :

a) ,
b) Dla dowolnego elementu mamy



c) Odwzorowanie jest iniekcją o następujących własnościach



Dowód Komentarz

1. Od tej chwili ciało będziemy krótko oznaczać literą . Będziemy także pisali "+" zamiast , zaś symbol "" będziemy opuszczać. Elementy ciała  będziemy nazywać liczbami zespolonymi.
2. Kładąc , na podstawie punktów (b) i (c), dowolną liczbę możemy zapisać w postaci



lub krócej



gdzie (utożsamiamy liczbę rzeczywistą z parą ).

3. Dla liczby naturalnej i dla wprowadzamy oznaczenia



4. Każdą liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci trygonometrycznej, tzn. w postaci



przy pewnym . Zauważmy, że takie przedstawienie nie jest jednoznaczne. Jednoznaczność otrzymamy biorąc na przykład .

End of proof.gif
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.10

a) Obliczyć .
b) Zapisać w postaci trygonometrycznej liczby
, .
c) Udowodnić, że dla dowolnej liczby zespolonej zachodzi wzór



gdzie


d) Wyznaczyć oraz .


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.11

W ciele liczb zespolonych rozwiązać równania:

a) ,
b) .
c) .

Zapisać pierwiastki równania w postaci .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 1.12

Niech . Wykazać, że jest grupą. Znaleźć najmniejszy ( ze względu na relację inkluzji) zbiór taki, żeby para była grupą oraz żeby:

  1. ,
  2. .
Wskazówka
Rozwiązanie