Algebra liniowa z geometrią analityczną

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej w $R^n$.

Sylabus

Autorzy

• Barbara Opozda — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
• Małgorzata Downarowicz — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
• Dominik Kwietniak — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki

Wymagania wstępne

• Podstawy logiki i teorii mnogości
• Wiadomości ze szkoły

Zawartość

• Ciała i przestrzenie wektorowe:
  • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
  • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
  • definicja przestrzeni wektorowej
  • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
  • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni

• Odwzorowania liniowe:
  • definicja odwzorowania liniowego
  • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego
  • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
  • przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne

• Macierze:
  • podstawowe pojęcia
  • działania na macierzach
  • macierz odwzorowania liniowego
  • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
  • macierz dualna a odwzorowanie dualne
  • rząd macierzy
  • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
  • ślad macierzy i endomorfizmu
• Układy równań liniowych:
  • twierdzenie Kroneckera-Capellego
  • zbiór rozwiązań układu równań liniowych
  • badanie układu równań
• Wyznacznik:
  • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
  • minory i rząd macierzy
  • wzory Cramera
  • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
• Endomorfizmy:
  • wartość własna i wektor własny
  • wielomian charakterystyczny
  • bazy i macierze Jordana
• Formy kwadratowe:
  • macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
  • twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
• Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
  • iloczyn skalarny
  • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
  • nierówność Schwarza
  • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
  • macierz i wyznacznik Grama, miara układu wektorów
  • izometrie liniowe, macierz ortogonalna
• Geometria analityczna:
  • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna $R^n$
  • układ bazowy, ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
  • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
  • równoległość podprzestrzeni afinicznych
  • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
  • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
  • odległość punktów i niektórych figur
  • zbiory wypukłe
  • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa

Literatura

1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
4. K. Nomizu, Fundamentals of Linear Algebra, McGraw-Hill, Inc., New York 1966.
5. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.

Moduły

1. Grupy i ciała (ćwiczenia) (test)
2. Przestrzenie wektorowe (ćwiczenia) (test)
3. Układy liniowo niezależne, generatory, bazy (ćwiczenia) (test)
4. Odwzorowania liniowe (ćwiczenia) (test)
5. Macierze (ćwiczenia) (test)
6. Macierze a odwzorowania liniowe (ćwiczenia) (test)
7. Wyznacznik (ćwiczenia) (test)
8. Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych (ćwiczenia) (test)
9. Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana (ćwiczenia) (test)
10. Euklidesowe przestrzenie wektorowe (ćwiczenia) (test)
11. Formy kwadratowe (ćwiczenia) (test)
12. Miara układu wektorów (ćwiczenia) (test)
13. Przestrzenie afiniczne I (ćwiczenia) (test)
14. Przestrzenie afiniczne II (ćwiczenia) (test)
15. Euklidesowe przestrzenie afiniczne (ćwiczenia) (test)