Analiza matematyczna 2

Forma zajęć

Wykład (45 godzin) + ćwiczenia (45 godzin)

Opis

Kurs jest kontynuacją „Analizy matematycznej 1”. Jego celem jest zapoznanie studentów z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych.

Sylabus

Autorzy

• Rafał Czyż - Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki,
• Leszek Gasiński - Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Informatyki,
• Marta Kosek - Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki,
• Jerzy Szczepański - Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki,
• Halszka Tutaj-Gasińska - Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki,

Wymagania wstępne

• Wymagana jest znajomość "analizy matematycznej 1" oraz "algebry liniowej z geometrią analityczną".

Zawartość

• przestrzenie metryczne
  • ciągi w przestrzeniach metrycznych
  • zupełność
  • zwartość, spójność
• przestrzenie unormowane, przestrzenie unitarne
• ciągi i szeregi funkcyjne
  • szeregi potęgowe, szeregi Taylora
  • trygonometryczne szeregi Fouriera
• rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha i w $R^N$
  • ciągłość funkcji wielu zmiennych
  • pochodne cząstkowe i różniczka; interpretacja geometryczna; gradient
  • różniczka złożenia
  • twierdzenie o funkcjach uwikłanych
  • różniczki wyższych rzędów
  • wzór Taylora
  • ekstrema funkcji wielu zmiennych
  • ekstrema warunkowe (metoda mnożników Lagrange'a).
• wielokrotna całka Riemanna
  • twierdzenie Fubiniego
  • wzór Greena
• równania różniczkowe zwyczajne
  • twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy’ego
  • przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych
  • podstawy rachunku wariacyjnego

Literatura

1. W. Rudin, „Podstawy analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982
2. W. Rudnicki, „Wykłady z analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001
3. J. Ombach, „Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo – Maple”, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, wyd. II, Kraków 1999
4. G.M. Fichtenholz, „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
5. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
6. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
7. A. Birkholc, „Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2002.
8. W. Krysicki, L. Włodarski, „Analiza matematyczna w zadaniach”, część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
9. J. Banaś, S. Wędrychowicz, „Zbiór zadań z analizy matematycznej”, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.

Moduły

1. Przestrzenie metryczne (ćwiczenia)
2. Ciągi w przestrzeniach metrycznych (ćwiczenia)
3. Norma. Iloczyn skalarny (ćwiczenia)
4. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora (ćwiczenia) (test)
5. Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera (ćwiczenia)
6. Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient (ćwiczenia)
7. Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora (ćwiczenia)
8. Ekstrema funkcji wielu zmiennych (ćwiczenia)
9. Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe (ćwiczenia)
10. Wielowymiarowa całka Riemanna (ćwiczenia)
11. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych (ćwiczenia)
12. Całka krzwoliniowa. Twierdzenie Greena (ćwiczenia)
13. Równania różniczkowe zwyczajne (ćwiczenia)
14. Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych (ćwiczenia)
15. Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego (ćwiczenia)