Analiza matematyczna 2/Wykład 14: Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych

Ten wykład prezentuje metody rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych. Pokazujemy, jak otrzymać rozwiązanie ogólne dla równań rzędu pierwszego: równania o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodnego, równania liniowego, równania Bernoullego i równania różniczkowego zupełnego. Z równań wyższych rzędów zajmujemy się tylko równaniem liniowym (jednorodnym i niejednorodnym) o stałych współczynnikach.

Uwaga 14.1.

Przez rozwiązanie równania rozumiemy w tym wykładzie zarówno podanie rozwiązania w postaci jawnej, to znaczy podanie wzoru na szukaną funkcję jak też podanie rozwiązania w postaci uwikłanej, czyli gdzie jest stałą dowolną. Aby zapewnić istnienie i jednoznaczność rozwiązań, zakładamy, że wszystkie występujące w naszym wykładzie funkcje są klasy w pewnym przedziale , względnie w kostce Na wykładzie pokazujemy tylko, jak dostać rozwiązanie ogólne równania, przykłady rozwiązań problemów Cauchy'ego zostawiamy na ćwiczenia.

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Definicja 14.2.

Równanie różniczkowe

czyli

lub równoważnie

nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych (rrzr).

Równanie to rozwiązujemy, "rozdzielając zmienne", czyli grupując wyrażenia z po jednej stronie, a wyrażenia z po drugiej stronie znaku równości. Otrzymujemy:

skąd rozwiązanie ogólne równania (rrzr) dostajemy w postaci

gdzie przez zapis i rozumiemy dowolną pierwotną z funkcji podcałkowej i gdzie jest stałą dowolną.

Uwaga 14.3.

Postępując jak powyżej, mogliśmy "zgubić" pewne rozwiązania równania (rrzr). Dokładniej, skoro dzielimy (rrzr) przez stronami, to nasze rozwiązanie nie uwzględnia rozwiązań postaci

gdzie jest takie, że Te rozwiązania (o ile istnieją) musimy dołączyć do rozwiązania ogólnego równania (rrzr).

Z problemem "gubienia" pewnych rozwiązań spotkamy się na tym wykładzie jeszcze niejednokrotnie. Dla zaznaczenia, że musimy osobno rozważać pewne rozwiązania, będziemy pisać obok równania na przykład:

zaznaczając w ten sposób, że należy rozważyć, czy rozwiązania postaci dla są rozwiązaniami naszego równania.

A zatem rozwiązania (rrzr) są postaci

lub

dla

Przykład 14.4.

Rozwiązać równanie

Dzieląc przez , dostajemy

Odtąd zakładamy, że Całkując, mamy

gdzie stałą zapisujemy jako dla pewnej stałej a zatem

czyli

a więc

Oprócz tego, jak od razu widać, rozwiązaniem jest funkcja

Reasumując, możemy napisać, że wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci

gdzie jest stałą dowolną.

Przykład 14.5.

Rozwiązać równanie

Dzieląc przez , dostajemy

Całkując, mamy

czyli

a więc

Dodatkowo

także jest rozwiązaniem naszego równania.

A zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci

gdzie jest stałą dowolną.

Równanie różniczkowe jednorodne

Definicja 14.6.

Funkcja jest funkcją jednorodną stopnia (gdzie ), jeśli dla każdego i wszystkich z dziedziny funkcji, też należy do dziedziny oraz zachodzi

Przykład 14.7.

(1) Funkcja jest funkcją jednorodną stopnia
(2) Funkcja jest funkcją jednorodną stopnia
(3) Funkcja nie jest funkcją jednorodną.

Definicja 14.8.

Równanie różniczkowe

gdzie i są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia , nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym (rrj).

Uwaga 14.9.

Równanie różniczkowe jednorodne możemy zawsze sprowadzić do postaci (rrj'):

Faktycznie, dzieląc (rrj) przez , a następnie dzieląc licznik i mianownik przez , dostajemy postać (rrj').

Równanie (rrj') rozwiązujemy, podstawiając

Mamy zatem a więc podstawiając do (rrj'), dostajemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

To równanie rozwiązujemy znaną już metodą i dostajemy:

Przykład 14.10.

Rozwiązać równanie

To jest równanie jednorodne. (Funkcje są jednorodne stopnia ). Dzielimy stronami przez i dostajemy:

Podstawiając , otrzymujemy równanie:

zatem

Rozwiązaniem tego równania jest

gdzie jest dowolną stałą. Skoro , to

Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Definicja 14.11.

Równanie różniczkowe

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego (rrl-1).

Jeśli funkcja , to równanie

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego (rrlj-1).

Jeśli funkcja nie jest tożsamościowo równa zero, to równanie

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu pierwszego (rrlnj-1).

Najpierw pokażemy, jak znaleźć rozwiązania równania różniczkowego liniowego jednorodnego (rrlj-1)

Widać, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,

czyli

Całkując, dostajemy:

gdzie jest stałą dowolną. (Uwzględniliśmy już, że jest rozwiązaniem naszego równania (rrlj-1)).

Przypuśćmy teraz, że mamy rozwiązać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego, niejednorodne,

Zachodzi następujące stwierdzenie (dowód pomijamy).

Stwierdzenie 14.12.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania różniczkowego jednorodnego i szczególnego rozwiązania równania (rrlnj-1).

A zatem rozwiązujemy równanie (rrlnj-1), znajdując najpierw rozwiązanie odpowiadającego mu równania różniczkowego liniowego jednorodnego,

czyli funkcję

Następnie musimy znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Zgodnie ze stwierdzeniem 14.12, wystarczy znaleźć szczególne rozwiązanie (rrlnj-1). Może nam się udać takie rozwiązanie szczególne zgadnąć (patrz przykład 14.15.) i wtedy wystarczy je dodać do rozwiązania ogólnego równania jednorodnego. Istnieją także metody szukania rozwiązań szczególnych, tu poznamy jedną z nich. Jest to tak zwana metoda uzmienniania stałej. Aby zastosować tę metodę, załóżmy, że rozwiązanie ogólne (rrlnj-1) można zapisać w postaci

gdzie jest pewną funkcją klasy którą musimy znaleźć. By wyznaczyć , podstawmy nasze do równania Dostaniemy:

czyli po uproszczeniu

Stąd

czyli

gdzie, jak wcześniej, oznacza dowolną pierwotną z funkcji podcałkowej, a jest stałą.

Podstawiając otrzymane do wzoru na rozwiązanie, dostajemy:

czyli, zapisując zgodnie ze stwierdzeniem 14.12, dostajemy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 14.13.

jest rozwiązaniem ogólnym (rrlnj-1).

Łatwo sprawdzić, że jest szczególnym rozwiązaniem (rrlnj-1).

Przykład 14.14.

Rozwiązać równanie liniowe niejednorodne:

Zgodnie z wyżej wprowadzonymi oznaczeniami mamy tu oraz Rozwiązując równanie jednorodne, dostajemy

Stosując metodę uzmienniania stałej (lub od razu wstawiając do wzoru na rozwiązanie ogólne), mamy:

jest rozwiązaniem ogólnym naszego równania niejednorodnego.

Przykład 14.15.

Znaleźć rozwiązanie równania

Równanie jednorodne

ma rozwiązanie ogólne Rozwiązanie szczególne naszego równania niejednorodnego łatwo zgadnąć, otóż jest to Tak więc rozwiązanie ogólne równania , to zgodnie ze stwierdzeniem 14.12,

Równanie Bernoullego

Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię

Definicja 14.16.

Równanie różniczkowe

gdzie

nazywamy równaniem różniczkowym Bernoullego (rrB).

Zauważmy, że dla lub powyższe równanie staje się równaniem różniczkowym liniowym (jednorodnym lub nie).

Równanie różniczkowe Bernoullego rozwiązujemy za pomocą podstawienia

i sprowadzenia równania do równania liniowego. Faktycznie, skoro , to Mnożąc (rrB) obustronnie przez , dostajemy równanie

i podstawiając, mamy:

czyli równanie liniowe rzędu pierwszego z niewiadomą funkcją Takie równanie umiemy już rozwiązać.

Zauważmy też, że jeśli , czyli , to zawsze "gubimy" rozwiązanie .

Przykład 14.17.

Rozwiązać równanie

Zapiszmy to równanie jako

Zatem

Nasze równanie, po pomnożeniu obustronnie przez , zamienia się w równanie

czyli po podstawieniu

dostajemy równanie liniowe niejednorodne

Zgodnie ze wzorem na rozwiązanie ogólne równania liniowego podanym w stwierdzeniem 14.13 mamy

czyli

a zatem rozwiązanie naszego równania Bernoullego to

Równanie różniczkowe zupełne

Definicja 14.18.

Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje klasy gdzie jest obszarem jednospójnym w Równanie różniczkowe

nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym (rrz), jeśli w zachodzi

Często definiuje się też równanie różniczkowe zupełne jako takie równanie, że pole wektorowe jest polem potencjalnym. Jak wiemy, w obszarach jednospójnych te warunki są równoważne (patrz uwaga 12.17. oraz stwierdzeniem 12.19.).

Metoda rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych jest dokładnie taka, jak metoda szukania potencjału dla pola potencjalnego (patrz ćwiczenie 12.4.). Aby rozwiązać (rrz), wystarczy znaleźć taką funkcję , by

i

Jeśli znajdziemy takie , to rozwiązaniem ogólnym (rrz) będzie

ze stałą dowolną

(Dowód powyższego faktu pomijamy, wymaga bowiem wprowadzenia pojęcia różniczki zupełnej).

Aby znaleźć całkujemy funkcję po zmiennej Dostajemy wtedy

gdzie jest pewną, na razie nieznaną, funkcją klasy Aby wyznaczyć , liczymy pochodną po z obu stron powyższego równania. Dostajemy:

Porównując te strony tego równania, wyznaczamy a całkując, dostajemy a zatem także

Przykład 14.19.

Rozwiązać równanie różniczkowe

Mamy Zachodzi

a więc równanie jest zupełne. Wyznaczmy Mamy

Licząc pochodną po i porównując z , dostaniemy:

skąd

a więc

czyli

Równanie różniczkowe liniowe rzędu o stałych współczynnikach

Wszystkie rozpatrywane do tej pory równania były równaniami różniczkowymi rzędu pierwszego. Zajmiemy się teraz pewnym szczególnym przypadkiem równań wyższego rzędu, czyli równaniami liniowymi rzędu o stałych współczynnikach, dla których to równań możemy opisać metodę prowadzącą do znalezienia rozwiązań. Należy bowiem zdawać sobie sprawę, że nie ma metod umożliwiających dokładne rozwiązanie dowolnego równania różniczkowego. W praktyce często zadowalamy się rozwiązaniami przybliżonymi. Szukaniem rozwiązań przybliżonych zajmuje się dział matematyki zwany metodami numerycznymi.

Definicja 14.20.

Równanie różniczkowe

gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, rzędu o stałych współczynnikach (rrlj-n).
Równanie różniczkowe

gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, a funkcja nie jest tożsamościowo równa zero, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym, rzędu o stałych współczynnikach (rrlnj-n).

Aby znaleźć rozwiązanie równania liniowego jednorodnego (rrlj-n), oprzemy się na poniższym stwierdzeniu (podamy go bez dowodu).

Stwierdzenie 14.21.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu o stałych współczynnikach jest kombinacja liniową

rozwiązań szczególnych tego równania ze stałymi dowolnymi

Musimy zatem mieć liniowo niezależnych rozwiązań równania (rrlj-n), gdzie przez liniową niezależność funkcji rozumiemy fakt, że żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej pozostałych. Aby znaleźć te rozwiązania, przypuśćmy, że funkcja

jest szczególnym rozwiązaniem naszego równania. Wstawiając tę funkcję do równania, dostajemy:

czyli

Definicja 14.22.

Równanie

nazywamy równaniem charakterystycznym dla równania (rrlj-n).

Aby znaleźć rozwiązania szczególne równania różniczkowego (rrlj-n), musimy najpierw rozwiązać równanie charakterystyczne dla tego równania. Rozwiązując, należy znaleźć wszystkie pierwiastków tego równania (mogą być zespolone!). To jak wyglądają rozwiązania , zależy od postaci czyli od tego czy są rzeczywiste, czy zespolone, czy pojedyncze, czy wielokrotne.
Przypadek I. Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są różne.
Przypadek I.A. są liczbami rzeczywistymi. Wówczas mamy rozwiązanie szczególne

i rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać

Przypadek I.B. Wśród są liczby zespolone. Przyjmijmy, że Zauważmy, że skoro jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to jest nim także (bo są rzeczywiste; dla naszego równania pierwiastków zespolonych jest zatem zawsze parzysta ilość). Niech Wówczas dostajemy dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne postaci

Niech zatem będą pierwiastkami zespolonymi, a rzeczywistymi (może nie być żadnego). Wtedy rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać

Przypadek II. Wśród pierwiastków równania charakterystycznego są pierwiastki wielokrotne.
Przypadek II.A Niech pierwiastek będzie -krotnym rzeczywistym pierwiastkiem równania charakterystycznego. Odpowiada mu wtedy liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:


Przypadek II.B Niech pierwiastek będzie -krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego. Wtedy także jest -krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego i odpowiada im liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:

Zauważmy, że za każdym razem dostajemy w sumie rozwiązań - bo suma ilości wszystkich pierwiastków równania stopnia liczonych wraz z krotnościami wynosi Rozwiązanie ogólne (rrlj-n) znajdujemy zatem, biorąc kombinację liniową

Przykład 14.23.

Rozwiązać równanie:

Wypisujemy równanie charakterystyczne:

Równanie to ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

Rozwiązania szczególne to

zatem rozwiązanie ogólne to

Przykład 14.24.

Rozwiązać równanie:

Wypisujemy równanie charakterystyczne:

Równanie to ma jeden pierwiastek podwójny ()

Zatem rozwiązania szczególne to

a rozwiązanie ogólne to

Przykład 14.25.

Rozwiązać równanie:

Wypisujemy równanie charakterystyczne:

Równanie to ma (dwa sprzężone) pierwiastki zespolone

tak więc tu

Zatem rozwiązania szczególne to

a rozwiązanie ogólne to

Powiemy teraz, jak znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych rzędu (rrlnj-m). Ograniczymy się do tych sytuacji, kiedy można zastosować tak zwaną metodę przewidywań.

Bez dowodu podamy następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie 14.26.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego niejednorodnego rzędu o stałych współczynnikach:

jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego

i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

To właśnie do znalezienia tego szczególnego rozwiązania będziemy stosować metodę przewidywań. Okazuje się, że dla pewnych funkcji można przewidzieć postać rozwiązania szczególnego.
Przypadek 1. Funkcja

gdzie jest wielomianem zmiennej oraz liczba nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

gdzie (którego współczynniki musimy wyznaczyć) jest wielomianem tego samego stopnia co
Przypadek 2. Funkcja

gdzie jest wielomianem zmiennej oraz liczba jest pierwiastkiem -krotnym równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

gdzie jest wielomianem tego samego stopnia co
Przypadek 3. Funkcja

gdzie i są wielomianami zmiennej oraz liczba nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

gdzie i są wielomianami stopnia równego
Przypadek 4. Funkcja

gdzie i są wielomianami zmiennej oraz liczba jest pierwiastkiem -krotnym równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

gdzie znowu i są wielomianami stopnia równego
W każdym z powyższych przypadków współczynniki nieznanych wielomianów wyliczymy, wstawiając do naszego równania niejednorodnego.

Uwaga 14.27.

W przypadku, gdy funkcja w równaniu niejednorodnym jest sumą funkcji opisanych w przypadkach powiedzmy to szukamy najpierw rozwiązań szczególnych dla równań niejednorodnych z prawymi stronami równymi Znajdujemy funkcji Szukane rozwiązanie szczególne to

co wynika z liniowości naszego równania.

Przykład 14.28.

Rozwiązać równanie

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

Równanie charakterystyczne to

z rozwiązaniami Tak więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to

Szukamy teraz rozwiązań szczególnych, najpierw dla równania

Tu zatem nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. Przewidujemy zatem rozwiązanie szczególne w postaci:

To wstawiamy do równania Dostajemy:

skąd dostajemy układ równań

czyli Tak więc

Rozwiążemy teraz równanie

Tu i liczba jest (jednokrotnym) pierwiastkiem równania charakterystycznego. Wielomian ma stopień Rozwiązania szczególnego szukamy zatem w postaci

Współczynniki i wyznaczymy, wstawiając do równania Dostaniemy

skąd

zatem

czyli

Sumując, dostajemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego:

Tak więc rozwiązanie ogólne naszego równania to: