Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Ćwiczenie 11.1

Policzyć całkę

gdzie jest zbiorem ograniczonym powierzchniami:

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.2.

Policzyć objętość kuli w o promieniu

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.3.

Policzyć objętość bryły ograniczonej przez powierzchnię stożka

leżącą nad powierzchnią koła

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.4.

Policzyć objętość bryły ograniczonej przez powierzchnię stożka

przez powierzchnię walca

oraz płaszczyznę .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.5.

Obliczyć objętość bryły danej powierzchnią o równaniu:

gdzie są dodatnimi stałymi.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.6.

Wykonać czytelny rysunek bryły, po której całkujemy w poniższej całce oraz rzuty bryły na płaszczyzny układu.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.7.

Mamy daną powierzchnię płaską Niech funkcja zadaje gęstość na to znaczy w każdym punkcie mamy gęstość (masy) równą Wtedy masa całej powierzchni wyraża się wzorem

Policzyć masę krążka o środku w punkcie i promieniu jeśli gęstość w każdym jego punkcie jest proporcjonalna do odległości od środka i równa na brzegu.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.8.

Mamy daną powierzchnię o gęstości masy Masę tej powierzchni wyznaczamy ze wzoru

(zobacz ćwiczenie 11.7.). Wtedy współrzędne środka ciężkości wyznaczamy ze wzorów:

Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości ćwiartki okręgu:

o gęstości

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 11.9.

Policzyć całkę po -wymiarowej kostce z funkcji

Wskazówka
Rozwiązanie