Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe

Ćwiczenie 6.1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) ,

h) ,

i) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.2.

Obliczyć granice iterowane i granice funkcji (o ile istnieją)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.3.

Zbadać ciągłość funkcji

Wskazówka
Rozwiązanie


Ćwiczenie 6.4.

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.5.

Udowodnić zależność między pochodną kierunkową a pochodnymi cząstkowymi

o ile one wszystkie istnieją i o ile pochodne cząstkowe są ciągłe. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji

w kierunku wektora w punkcie ,

b) w kierunku wektora w punkcie ,

c) w kierunku wektora w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.6.

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji złożonych

a) , gdzie jest funkcją różniczkowalną,

b) , gdzie jest funkcją różniczkowalną,

c) , gdzie jest funkcją różniczkowalną.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.7.

Sprawdzić, czy funkcja

a) spełnia równanie

b) spełnia równanie

c) , gdzie jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

d) , gdzie funkcja ma pochodne cząstkowe, spełnia równanie

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.8.

Obliczyć

a) , gdzie ,

b) , gdzie ,

c) , gdzie

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.9.

Dane równanie zapisać w nowych współrzędnych

Wskazówka
Rozwiązanie