Analiza matematyczna 2/Wykład 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.

Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.

Punkty regularne poziomicy

Niech będą przestrzeniami Banacha i niech będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję

oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór

Ustalmy pewien punkt , , , na tej poziomicy.

Definicja 9.1.

Mówimy, że punkt jest punktem regularnym zbioru , jeśli różniczka jest suriekcją przestrzeni na przestrzeń . Punkt poziomicy , który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.

Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:

Uwaga 9.2.

W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze , odwzorowanie liniowe jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania jest maksymalny, tj. równy .

Przykład 9.3.

Niech . Rozważmy i poziomicę zerową tej funkcji

czyli okrąg o środku w punkcie i promieniu jednostkowym. Różniczka

w dowolnym punkcie ma rząd maksymalny. Rząd różniczki nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe , zerują się, czyli gdy

ale punkt nie leży na okręgu .

Przykład 9.4.

Niech i niech . Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji

jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka

nie ma maksymalnego rzędu, gdy

czyli w punktach i . Stąd punkt jest punktem nieregularnym

liścia Kartezjusza. Drugi punkt nie leży na poziomicy .

Przykład 9.5.

Niech i niech . Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą

nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka

nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy

czyli w trzech punktach , i , spośród których tylko pierwszy leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.

Przykład 9.6.

Poziomicą zerową funkcji

jest sfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu jednostkowym:

Różniczka odwzorowania dana wzorem

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach poza początkiem układu współrzędnych , w którym rząd ten wynosi zero. Punkt nie należy jednak do sfery , stąd każdy jej punkt jest regularny.

Przykład 9.7.

Niech . Wówczas poziomicą zerową funkcji jest zbiór

który powstaje z przecięcia walca o osi obrotu z walcem o osi obrotu . Zauważmy, że różniczka

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do . Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników

wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy wynosi zero, gdy (punkt nie należy do poziomicy zerowej ). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy

co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy , a mianowicie w punktach oraz . Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki w pozostałych punktach poziomicy jest maksymalny (tj. wynosi ).
Wykres.gif wykres

Przykład 9.8.

Niech Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu

Różniczka jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do , nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach , w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe , tzn. gdy

Układ ten spełnia punkt o współrzędnych , a także punkty o współrzędnych , które spełniają układ

czyli . Spośród punktów poziomicy warunek ten spełniają poza punktem także punkty , , , , gdzie . Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania ma w nich rząd maksymalny (równy ).


<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/e/ec/Am2w09.0010.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Poziomica zerowa funkcji


Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech , będą przestrzeniami Banacha i niech będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym . Niech będzie punktem poziomicy zerowej funkcji , gdzie . Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę w otoczeniu punktu można przedstawić jako wykres pewnej funkcji takiej, że w pewnym otoczeniu otwartym punktu .

Rozważmy dwa proste przykłady.

Przykład 9.9.

Niech będzie punktem okręgu , który stanowi poziomicę zerową funkcji

Jeśli , to w otoczeniu punktu można określić funkcję

taką, że

Z kolei, jeśli , to w otoczeniu punktu znajdziemy funkcję

taką, że

Jedynymi punktami okręgu , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji takiej, że i , są punkty oraz

. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa .

Przykład 9.10.

Niech , . Niech będzie punktem sfery , która stanowi poziomicę zerową funkcji . Jeśli , to w otoczeniu punktu wewnątrz okręgu można określić funkcję

taką, że

Z kolei, jeśli znajdziemy funkcję

taką, że

Jedynymi punktami sfery , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji takiej, że i , są punkty okręgu zawartego w płaszczyźnie . Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa .

Uogólnijmy to spostrzeżenie, formułując

Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]

Niech będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym . Niech (gdzie ) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji takim, że zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni jest izomorfizmem. Wówczas

1) istnieje pewne otoczenie otwarte punktu oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu taka, że oraz dla dowolnego . Ponadto

2) funkcja jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze

daną wzorem
gdzie , natomiast

oznacza zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni a jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki .

Dowód 9.11.

[Szkic] Pominiemy dowód istnienia funkcji . Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy

wpierw jednak, że End of proof.gif
Uwaga 9.12.

Jeśli , to odwzorowanie liniowe jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. .

Przypadek I. Niech i niech Jeśli funkcja spełnia równanie , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość

Stąd

Z założenia zacieśnienie różniczki jest izomorfizmem przestrzeni do , co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa . Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem

Przypadek II. Niech Jeśli funkcja spełnia równanie , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach poziomicy

oraz

Izomorficzność zawężenia różniczki również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa . Wówczas z powyższych równości dostajemy

oraz

gdzie . Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych, można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):

oraz

Przypadek III. Niech , i niech

Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna

taka, że

to znaczy

Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy

oraz

Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi , , które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej :

Zapiszmy ten układ w formie macierzowej

W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki do podprzestrzeni oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje :

jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa

reprezentuje zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni . Macierz niewiadomych , :

reprezentuje różniczkę funkcji uwikłanej . Stąd układ równań z niewiadomymi , przedstawia równanie

w którym niewiadomą jest różniczka . Izomorficzność zacieśnienia gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego , dzięki czemu otrzymujemy

W języku algebry nieosobliwość macierzy

gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania

jest

lub równoważnie:

Ekstrema funkcji uwikłanej

Niech i niech

będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym .

Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji uwikłanej równaniem nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji . Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.

Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]

Jeśli funkcja uwikłana równaniem osiąga ekstremum w pewnym punkcie takim, że pochodna cząstkowa , to w punkcie zerują się pochodne cząstkowe funkcji po zmiennych , tzn.

Dowód

Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji , który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość

to wobec izomorficzności która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że ) różniczka zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy . Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie pochodnych cząstkowych funkcji po zmiennych , czyli

End of proof.gif

Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej , aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja osiąga maksimum, minimum, czy też w ogóle nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.

Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:

Przypadek I. Niech będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję uwikłaną równaniem . Różniczkując tę równość po zmiennej , otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość

Różniczkując względem zmiennej powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy

Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie , w którym . Otrzymamy wówczas równość

z której - wobec założenia, że - otrzymamy

gdzie .

Przypadek II. Niech będzie funkcją uwikłaną równaniem , gdzie jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe oraz :

Policzymy pochodną cząstkową po zmiennej obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:

oraz

Wobec tego

W punkcie , w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy , , a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:

gdzie . W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej , które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie przyjmują postać:

Stąd - wobec założenia, że - otrzymujemy:

W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.

Wniosek 9.14.

Niech , będzie funkcją uwikłaną równaniem , gdzie jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu , gdzie . Niech i niech różniczka . Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej w punkcie wynosi

czyli
dla dowolnych .

Przykład 9.15.

Wyznaczmy ekstrema funkcji danej w postaci uwikłanej , gdzie

Obserwacja poziomicy zerowej każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima, a pozostałe dwie - minima.

Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej szukamy punktów , których współrzędne spełniają układ równań:

Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej ) wymaga sprawdzenia założenia:

Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż . Obserwacja poziomicy wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji z równania w żadnym otoczeniu punktu . Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych

w których spełniony jest warunek . Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach odpowiednio punktów

istnieją jedyne funkcje , , , , które spełniają warunek

oraz odpowiednio , . Analiza poziomicy (lub określoności drugiej różniczki ) pozwala stwierdzić, że funkcje i osiągają w punktach , maksimum, zaś i osiągają w punktach , minimum.

Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.

Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange'a

Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze przestrzeni unormowanej (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy , ). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w .

Przykład 9.16.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

na sferze

Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą wnioskujemy, że wielomian osiąga na tej sferze zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Nasze dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez odwikłanie zmiennej

z równania sfery i zbadania funkcji dwóch zmiennych danych w kole wzorami:

Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości ekstremalnych funkcji na danej sferze.

Podamy jednak pewną metodę, która pozwala wyznaczać ekstremum funkcji zacieśnionej do poziomicy zerowej pewnej funkcji również w przypadku, gdy odwikłanie zmiennej z równania nie jest tak proste jak w podanym przykładzie.

Sprecyzujmy jednak wpierw problem.

Niech będą przestrzeniami Banacha i niech , będą funkcjami.

Definicja 9.17.

Mówimy, że funkcja osiąga ekstremum warunkowe w punkcie przy warunku , jeśli zacieśnienie funkcji do poziomicy osiąga ekstremum w tym punkcie.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę metody mnożników Lagrange'a.

Niech będą przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie 9.18.

Niech , będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego poziomicy (co - przypomnijmy - oznacza, że różniczka jest suriekcją przestrzeni na ). Jeśli funkcja osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym poziomicy zerowej funkcji , to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły taki, że zachodzi równość .

Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić, czy funkcja osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie .

Twierdzenie 9.19.

Niech , będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego poziomicy . Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły taki, że zachodzi równość oraz forma kwadratowa

jest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni przestrzeni , to funkcja osiąga w punkcie minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe.

Definicja 9.20.

Funkcjonał , który występuje w wypowiedzi obu powyższych twierdzeń, nazywamy funkcjonałem Lagrange'a.

Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.

Uwaga 9.21.

Jeśli są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia punktu na poziomicy oraz stałej , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane, to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy dany wzorem taki, że różniczka , o ile punkt jest punktem regularnym poziomicy . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy , punkt jest regularny, jeśli rząd różniczki

wynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie różniczka , czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa lub jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

gdzie stałą (nazywaną tradycyjnie mnożnikiem Lagrange'a) wyznaczamy z układu równań

Uwaga 9.22.

Jeśli są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia - podobnie jak w poprzednim przypadku - punktu na poziomicy oraz stałej , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy dany wzorem , taki, że różniczka , o ile punkt jest punktem regularnym poziomicy . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy punkt jest regularny, jeśli rząd (odwzorowania liniowego z do ) jest maksymalny, czyli wynosi . Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie różniczka

nie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych , , jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

gdzie stałą wyznaczamy z układu równań

Przykład 9.23.

Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji na sferze . Rozwiążemy je metodą mnożników Lagrange'a opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji . Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech . Rozwiązujemy układ równań

Układ ten spełniają liczby

oraz

Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze . Mamy

czyli osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą , a w drugim punkcie - wartość największą na sferze równą .

Uwaga 9.24.

Jeśli funkcja , zaś , zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia punktów zbioru , w których zeruje się różniczka funkcji . Funkcjonał Lagrange'a w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z , jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: , . Funkcja jest zestawieniem dwóch funkcji o wartościach rzeczywistych, stąd

Metoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań

w punktach regularnych poziomicy , czyli tych, w których rząd różniczki jest maksymalny (tj. równy , gdyż różniczka jest odwzorowaniem liniowym z do ). Zwróćmy uwagę, że funkcja może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum.

Przykład 9.25.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

na przecięciu się dwóch walców

Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie ). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji . Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy tylko dwa nie są regularne: oraz . Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań:

Układ ten ma dwa rozwiązania

oraz

Wartość funkcji w tych punktach wynosi

W obu punktach nieregularnych poziomicy mamy

Po porównaniu tych wartości: stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy równą funkcja osiąga w punkcie , a najmniejszą, równą , w punkcie