Analiza matematyczna 2/Wykład 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Uogólniamy znane z Analizy matematycznej I pojęcie pochodnej na przypadek funkcji wielu zmiennych. Definiujemy pochodną funkcji o wartościach wektorowych oraz różniczkę zupełną w sensie Frecheta. Dowodzimy własności różniczki zupełnej i wyrażamy ją za pomocą pochodnych cząstkowych. Definiujemy także różniczki wyższych rzędów.

Pochodna funkcji jednej zmiennej o wartościach wektorowych

Wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji poprzedziliśmy przypomnieniem dwóch wielkości fizycznych: prędkości średniej i prędkości chwilowej w ruchu prostoliniowym. Zwróćmy uwagę na to, że w otaczającym nas świecie ruch po prostej jest rzadkością, gdyż większość obiektów, które obserwujemy, porusza się po drodze na płaszczyźnie dwuwymiarowej, bądź w przestrzeni trójwymiarowej. Wprowadźmy więc pojęcie pochodnej, które odpowiada m.in. potrzebie opisu ruchu w realnym świecie.

Niech będzie funkcją określoną na przedziale otwartym o wartościach w przestrzeni unormowanej . Możemy mieć na myśli na przykład przestrzeń unormowaną , w której długość wektora wyraża norma .

Definicja 7.1.

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jeśli istnieje wektor taki, że iloraz różnicowy zmierza do w normie przestrzeni , to znaczy

Wektor nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub .
Uwaga 7.2.

W szczególnym przypadku, gdy , funkcja

jest zestawieniem funkcji o wartościach liczbowych. Stąd istnienie pochodnej jest równoważne istnieniu pochodnych wszystkich składowych funkcji w punkcie . Wówczas też pochodna jest zestawieniem pochodnych swoich składowych, tzn.

Przykład 7.3.

Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:

Jak łatwo zauważyć punkt porusza się po elipsie o równaniu

gdyż (na podstawie jedynki trygonometrycznej) mamy równość

Ruch ten jest okresowy, wystarczy więc ograniczyć zbiór wartości parametru do przedziału . Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych

Długość wektora prędkości jest pierwiastkiem z sumy kwadratów składowych tego wektora:

i jest największa wówczas, gdy funkcja przyjmuje wartość największą (równą jedności), a więc w przedziale w chwili oraz , tj. w punktach oraz elipsy. Z kolei prędkość jest najmniejsza wówczas, gdy funkcja osiąga wartość najmniejszą (równą zeru). W przedziale zachodzi to w chwili oraz , co odpowiada położeniu w punktach oraz . Rozwiązanie zadania jest intuicyjnie oczywiste: chcąc bezpiecznie pokonać ostrzejszy zakręt, musimy zwolnić. Na łagodnym łuku (na łuku o małej krzywiźnie) można przyśpieszyć.

Przykład 7.4.

Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:

Punkt ten porusza się po krzywej zwanej asteroidą o równaniu

gdyż (na mocy jedynki trygonometrycznej) mamy równość . Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych

Długość wektora prędkości jest pierwiastkiem z sumy kwadratów jego składowych:

Podobnie jak w poprzednim przykładzie ruch ten jest okresowy o okresie , wystarczy więc zbadać go w przedziale . Zauważmy, że w opisanym ruchu prędkość jest największa wówczas, gdy przyjmuje największą wartość (równą jedności), co w przedziale ma miejsce w czterech chwilach: gdy , , , . Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z punktów , , , , gdzie , które -- jak nietrudno zauważyć -- leżą w środku łagodnego łuku asteroidy. Z kolei w chwili , , , funkcja osiąga wartość najmniejszą równą zeru. Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z ostrzy asteroidy: w punkcie , , lub . Zerowa prędkość punktu w tych położeniach jest również intuicyjnie oczywista: chcąc gładko pokonać tak ostry zakręt, na którym wręcz trzeba zawrócić, należy się na chwilę

zatrzymać.

W ramach kursu Analizy matematycznej I określiliśmy pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych, a na początku tego wykładu rozszerzyliśmy pojęcie pochodnej na przypadek funkcji jednej zmiennej o wartościach w dowolnej przestrzeni wektorowej za pomocą granicy ilorazu różnicowego

którą (o ile istnieje) oznaczamy symbolem lub . Zwróćmy uwagę, że w przypadku, gdy funkcja osiąga wartości w przestrzeni wektorowej , pochodna jest wektorem.

Różniczka zupełna

Uwaga 7.5.

Funkcja o wartościach w przestrzeni unormowanej ma pochodną w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor taki, że

, czyli

Dowód 7.5.

Jeśli iloraz różnicowy
zmierza do w normie przestrzeni , to
czyli

gdy . Z kolei z istnienia wektora takiego, że istnieje

wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego

i jest równa , a więc , gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma granicę określoną jednoznacznie. End of proof.gif

Zauważmy, że funkcja

jest liniowa. Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia pojęcia pochodnej funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na przestrzeni unormowanej o wartościach w przestrzeni unormowanej .

Niech oraz będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio oraz . Niech będzie podzbiorem otwartym przestrzeni .

Definicja 7.6.

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie (lub krótko: jest różniczkowalna w punkcie ), jeśli istnieje odwzorowanie liniowe i ciągłe przestrzeni w takie, że , to znaczy

Odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką zupełną (lub różniczką (w sensie) Frecheta, bądź pochodną (w sensie) Frecheta) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem bądź . Wartość różniczki funkcji w punkcie na wektorze oznaczamy symbolem lub albo też

Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym, przywykliśmy do faktu, że

Uwaga 7.7.
Każde odwzorowanie liniowe określone na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe.

Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.

Uwaga 7.8.

Niech będą przestrzeniami unormowanymi. Niech będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i jednorodnym). Następujące warunki są równoważne

1) jest ciągłe,

2) jest ciągłe w zerze,

3) jest ograniczone, tzn.

Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym wymiarze.

Przykład 7.9.

Zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym o wartościach w z normą

stanowi przestrzeń Banacha, gdyż jest przestrzenią unormowaną z normą (co łatwo sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica (w podanej normie) ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Rozważmy odwzorowanie , które funkcji ciągłej i różniczkowalnej w przyporządkowuje jej pochodną . Z własności pochodnej wynika, że odwzorowanie jest

-- addytywne, tj. , dla dowolnych funkcji różniczkowalnych , ,

-- jednorodne, tj. , dla dowolnej funkcji różniczkowalnej i stałej ,

jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest ograniczone. Weźmy na przykład ciąg jednomianów :

Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez . Gdyby odwzorowanie było ciągłe, normy byłyby ograniczone,

lecz nie są gdyż

Wynika stąd, że nie jest ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.

Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki Frecheta.

Twierdzenie 7.10.

Niech będą przestrzeniami Banacha.

a) Odwzorowanie afiniczne

jest różniczkowalne w sensie Frecheta w dowolnym punkcie , a jego różniczką w każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego , tzn.

W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest tym samym odwzorowaniem:

b) Zestawienie funkcji

jest różniczkowalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie są składowe oraz . Zachodzi wówczas równość

Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku, gdy

mamy równość

c) Suma funkcji różniczkowalnych , w punkcie jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma różniczek, tzn.

d) Iloczyn stałej i funkcji różniczkowalnej w punkcie jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy czym

Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.

e) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie , to w tym punkcie jest ciągła.

Dowód 7.10.

Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.

Szczegółowe uzasadnienia pomijamy. End of proof.gif

Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.

Twierdzenie 7.11.

Niech będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , a funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to złożenie jest różniczkowalne w punkcie i zachodzi równość:
Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich różniczek.

Dowód 7.11.

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie , a funkcja -- w punkcie , więc

Stąd wobec ograniczoności różniczek oraz dostajemy

co dowodzi różniczkowalności złożenia w punkcie oraz równości Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).

End of proof.gif

Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.

Twierdzenie 7.12.

Niech będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze przestrzeni Banacha o wartościach w przestrzeni Banacha .

Jeśli w pewnym otoczeniu punktu funkcja ma ciągłą różniczkę

oraz różniczka jest izomorfizmem przestrzeni i , to

1) w pewnym otoczeniu punktu funkcja jest różnowartościowa;

2) funkcja odwrotna do funkcji (zacieśnionej do zbioru ) jest ciągła;

3) funkcja odwrotna jest różniczkowalna w punkcie i zachodzi równość

Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.

Dowód 7.12.

(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że jeśli funkcja jest odwrotna do , to złożenie , dla każdego , tzn. jest identycznością na przestrzeni . Ponieważ odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest . Stąd na mocy twierdzenia o różniczce złożenia mamy

Wobec założenia o izomorficzności istnieje odwzorowanie odwrotne , które

jest różniczką funkcji odwrotnej w punkcie , czyli . End of proof.gif

Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania lub twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie.

Wyrażenie różniczki Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych

W poprzednim module zdefiniowaliśmy pochodną kierunkową funkcji w punkcie w kierunku . Możemy tę samą definicję powtórzyć również w przypadku funkcji , w przypadku, gdy zbiorem wartości funkcji , jest dowolna przestrzeń unormowana :

gdzie , a zbieżność ilorazów różnicowych do granicy przy rozumiemy w sensie zbieżności w normie przestrzeni .

Uwaga 7.13.

Niech będzie dowolnym wektorem jednostkowym z przestrzeni , tzn. . Jeśli funkcja jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie , to istnieje pochodna kierunkowa w dowolnym kierunku ,

przy czym zachodzi równość
Ponadto funkcja jest liniowa i ciągła.

Dowód 7.13.

Skoro
więc w szczególności dla mamy

Wobec liniowości różniczki oraz faktu, że , mamy

czyli iloraz różnicowy zmierza przy do granicy , więc istnieje pochodna kierunkowa i jest równa wartości różniczki zupełnej funkcji w punkcie na wektorze . Stąd funkcja jest liniowa i ciągła. End of proof.gif
Uwaga 7.14.

Niech będzie funkcją różniczkowalną w punkcie . Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się

pochodna kierunkowa w dowolnym kierunku.

Powstaje pytanie o istnienie różniczki Frecheta funkcji w punkcie, w którym istnieją pochodne kierunkowe w dowolnym kierunku. Negatywną odpowiedź na to pytanie podaje

Przykład 7.15.

Funkcja ma w punkcie pochodne kierunkowe w dowolnym kierunku , nie jest jednak różniczkowalna w sensie Frecheta w tym punkcie. Zauważmy, że dowolny wektor można na płaszczyźnie jednoznacznie przedstawić w postaci , gdzie . Stąd .

Jednak funkcja nie jest liniowa.

Przykład 7.16.

Funkcja
ma w punkcie pochodną kierunkową w każdym kierunku, nie ma jednak różniczki Frecheta w tym punkcie.

Z praktycznego punktu widzenia w zastosowaniach najważniejsza jest możliwość wyrażenia różniczki w sensie Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych.

Twierdzenie 7.17.

Niech będzie funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie . Istnieją wówczas pochodne cząstkowe

i są one wyrazami macierzy odwzorowania liniowego w bazie kanonicznej, to znaczy, dla dowolnego wektora wartość odwzorowania na wektorze jest wektorem z o współrzędnych

Dowód 7.17.

Wykazaliśmy, że zachodzi równość . Ponieważ , więc wystarczy wykazać twierdzenie dla składowych odwzorowania , tj. dla funkcji . W dalszym ciągu dowodu będziemy pomijać indeks dolny , zakładając, że jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Dla dowolnego wektora , bazy kanonicznej przestrzeni mamy (z definicji pochodnej cząstkowej) równość , więc dla dowolnego wektora mamy

End of proof.gif
Uwaga 7.18.

W ramach kursu algebry liniowej zwykliśmy zapisywać wektory w postaci macierzy kolumnowej:

Jeśli w taki sam sposób zapiszemy również zestawienie różniczek funkcji :

to macierz pochodnych cząstkowych , , , powinniśmy zapisać następująco:

aby móc stosować algorytm mnożenia (składania) macierzy:

który w tym przypadku prowadzi do uzyskanego przez nas wzoru:

gdzie .

Definicja 7.19.

Macierz , , , tj. macierz

nazywamy macierzą Jacobiego funkcji (odwzorowania) w punkcie . Zwróćmy uwagę, że macierz Jacobiego jest macierzą prostokątną o kolumnach i wierszach. W szczególnym przypadku, gdy (tj: ) możemy policzyć wyznacznik macierzy Jacobiego

który nazywamy jakobianem funkcji w punkcie i oznaczamy symbolami , , , , lub .

Uwaga 7.20.

Autorzy podręczników używają wielu różnych (często niejednolitych) oznaczeń na oznaczenie macierzy Jacobiego i jakobianu. Pamiętajmy jednak, że jakobian jest liczbą równą wyznacznikowi macierzy Jacobiego, tj. macierzy

pochodnych cząstkowych funkcji .

Kolejny wniosek dotyczy wyrażenia różniczki złożenia dwóch funkcji. Jest bardzo często wykorzystywany w praktycznych obliczeniach

Wniosek 7.21.

Niech będzie funkcją różniczkowalną w punkcie i niech będzie funkcją różniczkowalną w punkcie . Wiemy już, że istnieje różniczka złożenia w punkcie i jest złożeniem różniczek oraz . Różniczkę reprezentuje macierz pochodnych cząstkowych:

a różniczkę macierz

gdzie . Złożenie odwzorowań liniowych reprezentuje iloczyn podanych macierzy:


Stąd pochodną cząstkową -tej składowej złożenia wyraża suma

Uwaga 7.22.

Otrzymany wzór na pochodne cząstkowe złożenia często zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w postaci

Czasem też wzór ten upraszcza się (gdy nie ma obawy nieporozumienia)

lub jeszcze prościej

gdzie przez rozumie się zmienną niezależną (po której różniczkuje się funkcję w pierwszym czynniku), a równocześnie oznacza składowe funkcji .

Uwaga 7.23.

W wielu klasycznych podręcznikach symbolem oznacza się rzutowanie na -tą współrzędną. Zwróćmy uwagę, że każde z rzutowań jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do . Wobec tego zamiast przedstawiać

wartość różniczki na wektorze za pomocą sumy

możemy zapisać bezargumentowo jako kombinację liniową rzutowań o współczynnikach liczbowych , czyli

Wówczas wartość różniczki na wektorze wyraża się tym samym wzorem, co poprzednio:

Wniosek 7.24.

Jeśli jest funkcją różniczkowalną w punkcie , to dla dowolnego wektora wartość różniczki na wektorze jest iloczynem skalarnym gradientu funkcji w punkcie i wektora , tj.

gdzie oznacza iloczyn skalarny wektorów i w

przestrzeni .

Ponieważ iloczyn skalarny wektorów oraz oznacza się także często za pomocą kropki: albo , stąd wartość różniczki funkcji w punkcie na wektorze oznacza się też czasem symbolem: zamiast .

Pamiętamy, że dla dowolnych wektorów oraz zachodzi nierówność Schwarza:

czyli

przy czym równość w tej nierówności zachodzi wówczas, gdy wektory oraz są liniowo zależne. Wnioskiem z nierówności Schwarza jest więc

Uwaga 7.25.
Niech będzie wektorem o jednostkowej długości w . Pochodna kierunkowa osiąga największą wartość (co do wartości bezwzględnej) w kierunku wektora gradientu.

Dowód 7.25.

Skoro oraz , więc . Stąd na mocy nierówności Schwarza:

przy czym funkcja osiąga wartość największą na sferze jednostkowej , gdy wektor jest równoległy do wektora gradientu . End of proof.gif

Powstaje naturalne pytanie o warunki, jakie powinny spełniać pochodne cząstkowe, aby istniała różniczka. Warunek taki podaje

Twierdzenie 7.26.

(twierdzenie o istnieniu różniczki) Niech będzie funkcją określoną w pewnym

otwartym otoczeniu punktu . Jeśli pochodne cząstkowe istnieją i są ciągłe w otoczeniu punktu , to istnieje różniczka .

Dowód twierdzenia pomijamy (można go znaleźć np. na stronie 175. podręcznika Ryszarda Rudnickiego, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

Interpretacja geometryczna różniczki

Pamiętamy, że jeśli funkcja jednej zmiennej jest różniczkowalna w punkcie , to jej wykres ma styczną w punkcie o równaniu . Innymi słowy pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Uwaga 7.27.

Jeśli jest funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie , to powierzchnia o równaniu , która jest wykresem funkcji , ma płaszczyznę styczną w punkcie o równaniu

Przykład 7.28.

Płaszczyzna styczna do paraboloidy

w punkcie ma równanie

Różniczki wyższych rzędów

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

Niech będą przestrzeniami Banacha i niech będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym . Załóżmy, że w każdym punkcie istnieje różniczka , która -- przypomnijmy -- jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do .

Definicja 7.29.

Mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie , jeśli różniczkowalna jest w punkcie funkcja . Różniczkę funkcji w punkcie , która jest elementem przestrzeni , nazywamy drugą różniczką funkcji (lub różniczką rzędu drugiego funkcji ) w punkcie i oznaczamy symbolem .

Uwaga 7.30.

W ramach algebry liniowej dowodzi się, że przestrzenie oraz (czyli przestrzeń odwzorowań dwuliniowych ciągłych na o wartościach w ) są izomorficzne. Stąd też często mówimy, że różniczka rzędu drugiego jest odwzorowaniem dwuliniowym ciągłym na o wartościach w .

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, nazwijmy różniczką rzędu zerowego funkcji samą funkcję , tzn. . Ponadto, aby uprościć zapis i wypowiedzi twierdzeń, przyjmijmy, że .

Załóżmy, że w każdym punkcie istnieje różniczka rzędu funkcji , , która jest elementem przestrzeni odwzorowań liniowych ciągłych na o wartościach w przestrzeni .

Definicja 7.31.

Mówimy, że funkcja jest krotnie różniczkowalna w punkcie , jeśli w punkcie tym różniczkowalna jest funkcja . Różniczkę funkcji w punkcie , która jest elementem przestrzeni (izomorficznej w przestrzenią) , będziemy oznaczać symbolem i będziemy nazywać różniczką rzędu funkcji w punkcie (lub krócej:

różniczką funkcji w punkcie ).
Uwaga 7.32.
Dowodzi się, że także przestrzenie oraz (czyli przestrzeń odwzorowań liniowych i ciągłych na o wartościach w przestrzeni ) są izomorficzne, więc często różniczkę rzędu funkcji w punkcie będziemy nazywać odwzorowaniem liniowym i ciągłym na o wartościach w .

Pamiętamy, że jeśli i , to wartość różniczki na wektorze wyraża suma

Sumę tę można także wyrazić bez argumentu

gdzie

jest rzutowaniem na -tą współrzędną.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej definiujemy funkcje klasy .

Definicja 7.33.

Mówimy, że jest klasy w zbiorze (), jeśli w każdym punkcie istnieje różniczka rzędu funkcji i odwzorowanie jest ciągłe.

Wniosek 7.34.

Jeśli jest klasy , to w każdym punkcie tego zbioru pochodne cząstkowe mieszane są równe, tzn. zachodzi równość

dla dowolnych w dowolnym punkcie .

Innymi słowy: druga różniczka jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym.

Załóżmy, że , gdzie jest podzbiorem otwartym przestrzeni skończenie wymiarowej . Wówczas różniczkę rzędu można wyrazić efektywnie za pomocą pochodnych cząstkowych rzędu .

Twierdzenie 7.35.

Jeśli , to w dowolnym punkcie wartość różniczki rzędu na -ce jednakowych wektorów wyraża suma

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich

możliwych wielowskaźnikach (-wskaźnikach)

o długości

natomiast

jest uogólnieniem symbolu Newtona, w którym silnię wielowskaźnika definiujemy za pomocą iloczynu silni jego współrzędnych, tj.

oraz

Uwaga 7.36.
Wzór

który podaliśmy w tezie twierdzenia czasem zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w następującej postaci

lub

gdzie

definiujemy na wektorze wzorem

Dowód 7.36.

Wykażemy podany wzór w przypadku funkcji dwóch zmiennych, aby uprościć notację. W ogólnym przypadku uzasadnienie jest podobne. Jeśli jest różniczkowalna, to wartość jej różniczki w punkcie na

wektorze wyraża suma

Jeśli jest dwukrotnie różniczkowalna, to

gdyż pochodne cząstkowe mieszane oraz są równe wobec założenia o klasie funkcji . Następnie zakładając,

że wzór zachodzi dla różniczki rzędu , dowodzimy go dla różniczki rzędu . Szczegółowe przekształcenia pomijamy. End of proof.gif