Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej. Definiujemy granicę ciągu w przestrzeni metrycznej i przedstawiamy jej własności. Wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego i zupełności. Dowodzimy twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych. Wprowadzamy pojęcie ciągowej zwartości i charakteryzujemy zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Jako materiał nadobowiązkowy omawiamy ciągłość funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Dowodzimy pewnego warunku równoważnego ciągłości funkcji oraz tak zwaną własność Darboux. Wprowadzamy pojęcie: jednostajna ciągłość funkcji.

Ciąg i granica

Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest dzielącaich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni , to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość dzieląca tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w , lecz w zupełnie innej przestrzeni, jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż .

Definicja 2.1. [ciąg]

Niech będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze nazywamy dowolną funkcję
Ciąg ten oznaczamy

  lub  


gdzie

Definicja 2.2. [granica ciągu]

Niech będzie przestrzenią metryczną, ciągiem oraz
Mówimy, że jest granicą ciągu w metryce jeśli dla dowolnego wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od o mnie niż , czyli

i piszemy

lub

Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli

Plik:AM2.M02.W.R03.mp4
Ciąg zbieżny
Uwaga 2.3.

Warunek

w powyższej definicji jest równoważny warunkowi

Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż

Definicja 2.4. [ciąg ograniczony]

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli

Innymi słowy, ciąg jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w

Przykład 2.5.

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

"":
Ta implikacja jest oczywista.

"":
Załóżmy, że Należy pokazać, że ciąg jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy Z definicji granicy wiemy, że

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości lub Zatem warunek oznacza, że czyli Pokazaliśmy zatem, że

to znaczy ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Podobnie jak w przypadku ciągów w , dla ciągów w zachodzą następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2.6.

Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech będzie ciągiem oraz Wówczas:
(1) wtedy i tylko, wtedy, gdy ,
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu to znaczy

i

(3) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu to

(5) Jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu ciągu istnieje jego dalszy podciąg taki, że to

Zupełność

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Przypomnijmy teraz znane już z Analizy matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Definicja 2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz ciągiem.
Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż

Na wykładzie z Analizy matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.

Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz niech będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg jest zbieżny w to spełnia on warunek Cauchy'ego.

Dowód 2.8.

Niech będzie ciągiem zbieżnym w to znaczy Aby pokazać warunek Cauchy'ego, ustalmy dowolne Z definicji granicy wynika, że

Zatem dla dowolnych mamy

co kończy dowód.

End of proof.gif
Uwaga 2.9.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).

Definicja 2.10. [przestrzeń zupełna]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w jest zbieżny w

Przykład 2.11.

Przestrzenie oraz są zupełne (wiemy to z wykładu z Analizy matematycznej 1).

Przestrzenie oraz nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń nie jest zupełna, weźmy ciąg Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w

Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" między punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element o tej własności, że Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.

Definicja 2.12. [odwzorowanie zwężające]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie jest zwężające, jeśli

Przykład 2.13.

Dla odwzorowaniem zwężającym jest na przykład a odwzorowania nie są zwężające.

Definicja 2.14. [punkt stały]

Niech jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że jest punktem stałym odwzorowania jeśli

Przykład 2.15.

Dla punktem stałym odwzorowania jest punktami stałymi odwzorowania są wszystkie punkty ; odwzorowanie nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania i

Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]

Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, jest odwzorowaniem zwężającym, to ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy

Rysunek do dowodu twierdzenia Banacha o punkcie stałym

Dowód 2.16. [nadobowiązkowy]

Ustalmy dowolny Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:

dla

Jeżeli to a zatem jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy Ponieważ więc ciąg geometryczny jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że

Niech teraz Dla ustalenia uwagi załóżmy, że (rozumowanie dla jest analogiczne). Mamy

Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy

Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy

Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11), mamy

Z powyższej nierówności oraz definicji mamy

Pokazaliśmy zatem, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo jest przestrzenią zupełną), to znaczy

Pokażemy, że element jest punktem stałym odwzorowania W tym celu ustalmy Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru dla mamy

Ponieważ nierówność zachodzi dla dowolnego zatem a to oznacza (z definicji metryki), że

Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt jest jedynym punktem stałym odwzorowania Załóżmy, że pewien element jest punktem stałym dla to znaczy Wówczas:

zatem

Ponieważ więc a stąd Pokazaliśmy więc, że jest jedynym punktem stałym.

End of proof.gif

Ciąg skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.

Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 2.17.

Rozważmy przedział z metryką euklidesową Zauważmy, że w tym przedziale przedziały gdzie są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów Oczywiści Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału weźmiemy przedział z metryką euklidesową i zdefiniujemy zbiory domknięte to także oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Zobacz biografię
Plik:AM2.M02.W.R06.mp4
Zstępujący ciąg zbiorów domkniętych

Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora. Warunek równoważny zupełności przestrzeni]

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.

Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?", zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.

Dowód 2.18. [nadobowiązkowy]

[Szkic] "":
Niech będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy

gdzie

Dla każdego wybierzmy jeden dowolny element Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc

Wówczas (dlaczego?), a zatem
"":
Aby pokazać zupełność przestrzeni , weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego Dla każdego definiujemy

(to znaczy jest domknięciem zbioru wartości ciągu ). Wówczas jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych, o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje Wówczas (dlaczego?).

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 2.3.).

Plik:AM2.M02.W.R07.mp4
Ciąg w iloczynie kartezjańskim

Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi dla jest ciągiem w w szczególności dla oraz to
(1) wtedy i tylko wtedy, gdy dla
(2) Ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi spełniają warunek Cauchy'ego dla

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).

Wniosek 2.20.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla to jest przestrzenią metryczną zupełną.

Wniosek 2.21.

oraz są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.

Ciągowa zwartość

Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku oba te pojęcia są równoważne (patrz twierdzenie 2.23.).

Definicja 2.22.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz
Mówimy, że jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny w

Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem (ciągowo) zwartym będziemy nazywać przestrzenią (ciągowo) zwartą.

Twierdzenie 2.23.

Jeśli jest przestrzenią metryczną to jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią ciągowo zwartą.

Dowód 2.23. [nadobowiązkowy]

"" Załóżmy, że przestrzeń jest zwarta. Aby pokazać ciągową zwartość, przypuśćmy, że jest dowolnym ciągiem przestrzeni Dla dowolnej liczby definiujemy zbiory

Zbiory są otwarte (jako uzupełnienie zbiorów domkniętych) oraz

Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że czyli jest pokryciem otwartym Ponieważ z założenia jest przestrzenią zwartą, więc z pokrycia tego można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Ale ciąg był wstępujący, zatem czyli sprzeczność.
Pokazaliśmy zatem, że

To oznacza, że

czyli

Konstruujemy podciąg ciągu w następujący sposób. Ponieważ więc (z definicji domknięcia zbioru) istnieje takie, że Ponieważ zatem istnieje takie, że Postępując w ten sposób, skonstruowaliśmy podciąg ciągu o tej własności, że

Zatem (patrz twierdzenie 2.6.).

"" Pomijamy dowód tej implikacji.

End of proof.gif

Twierdzenie 2.24.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.

Dowód 2.24. [nadobowiązkowy]

Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni Dla twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj twierdzenie 2.23.). W tym celu niech będzie dowolnym ciągiem, gdzie dla Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu gdzie można wybrać podciąg zbieżny Ponieważ przestrzeń jest zwarta, więc z ciągu można wybrać podciąg zbieżny w Oczywiście podciąg jest zbieżny w (jako podciąg ciągu zbieżnego ). Zatem podciąg jest zbieżny w (patrz twierdzenie 2.19.).

End of proof.gif

Wniosek 2.25.

Kostka jest zwarta w

Dowód 2.25.

Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.21.) oraz powyższego twierdzenie 2.24.

End of proof.gif
Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956)
Zobacz biografię

Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej


Wniosek 2.26. [Heinego-Borela]

Jeśli to zbiór jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Dowód 2.26.

""
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz twierdzenie 1.19. i uwaga 1.20.
""
Jeśli zbiór jest ograniczony, to możemy go zawrzeć w pewnej kostce (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty, to ze zwartości kostki (patrz wiosek 2.25.) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.19. (4)).

End of proof.gif
Plik:AM2.M02.W.R10.mp4
Zbiór zwarty w
Plik:AM2.M02.W.R11.mp4
Zbiór zwarty w

Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi.


Twierdzenie 2.27.

Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.

Dowód 2.27. [nadobowiązkowy]

Niech będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego. Z twierdzenia 2.23. wiemy, że przestrzeń jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny w , to znaczy

Wykażemy, że . Ustalmy dowolne . Z definicji granicy wiemy, że istnieje takie, że

Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje takie, że dla dowolnych zachodzi

Niech będzie takie, że oraz niech . Wówczas dla dowolnego mamy

Pokazaliśmy zatem, że , co kończy dowód zupełności przestrzeni .

End of proof.gif
Uwaga 2.28.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna jest zupełna, ale nie zwarta (patrz przykład 2.11. oraz twierdzenie 1.22.).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych [rozdział nadobowiązkowy]

Jeśli jest funkcją między dwiema przestrzeniami metrycznymi (np z do ), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, więc możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę w punkcie jeśli

lub innymi słowy

Piszemy wówczas

lub

Plik:Am2.M02.W.R12.svg
Granica funkcji w punkcie

Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę w punkcie jeśli

Piszemy wówczas

lub

Plik:Am2.M02.W.R14.svg
Funkcja ciągła w punkcie
Plik:Am2.M02.W.R15.mp4
Funkcja ciągła w punkcie

Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.

Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech będzie funkcją oraz niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ).
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeśli


Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi
niech będzie funkcją oraz niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ).
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeśli

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość, podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.

Twierdzenie 2.33.

Jeśli i są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego w przeciwobraz jest otwarty w

Dowód 2.33.

"":
Niech będzie funkcją ciągłą. Niech będzie zbiorem otwartym w Należy pokazać, że zbiór jest otwarty w W tym celu ustalmy dowolny punkt . Mamy wykazać, że jest on zawarty w wraz z pewną kulą o środku Ponieważ zbiór jest otwarty oraz więc

Z drugiej strony, ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie więc

Zatem, jeśli to czyli co dowodzi otwartości zbioru
"":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego w zbiór jest otwarty w Ustalmy dowolny Pokażemy, że funkcja jest ciągła w punkcie W tym celu ustalmy dowolne i zdefiniujmy

Wówczas zbiór jest otwarty w (gdyż jest to kula; patrz twierdzenie 1.10. (1)), a zatem z założenia także zbiór jest otwarty w A zatem, z otwartości wynika, że

co oznacza, że

Ale jeśli to Zatem

czyli z definicji także

Pokazaliśmy, że jest ciągła w punkcie

End of proof.gif

Przykład 2.34.

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru (także otwartego) jest zbiorem otwartym w (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz przykład 1.8.).

Twierdzenie 2.35. [Darboux]

Jeśli i są przestrzeniami metrycznymi, jest zbiorem spójnym w oraz jest funkcją ciągłą,

to jest zbiorem spójnym w
Funkcja ciągła na zbiorze spójnym
Funkcja ciągła na zbiorze, który nie jest spójny

Dowód 2.35.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory i mające niepuste przecięcie z i takie, że Ponieważ jest funkcją ciągłą, więc zbiory i są otwarte w (patrz twierdzenie 2.33.), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru

End of proof.gif

Ciągłość jednostajna [rozdział nadobowiązkowy]

Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twierdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.

Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.

Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]

Niech będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech będzie funkcją.

Mówimy, że jest jednostajnie ciągła, jeśli

Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości dobrane do może się zmieniać w zależności od punktu , w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości dobrane do jest już "dobre" dla wszystkich z dziedziny funkcji.

Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.37.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest funkcją, to jeśli funkcja jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.

Funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła

Przykład 2.38.

Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.

Sprawdzimy, że faktycznie funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów mamy Zatem, jeśli weźmiemy ustalone (dla jakiegoś ), to dla odległość co rośnie do nieskończoności, gdy zwiększamy A zatem nie możemy dobrać niezależnego od wyboru punktu

Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w twierdzeniu 2.37. zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 2.39.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest zbiorem zwartym w oraz jest funkcją, to jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych), to dla danego możemy dobrać które jest "dobre" dla wszystkich z naszego zbioru zwartego, czyli mamy

niezależnie od tego, jakie weźmiemy.