Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1.

a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b)

c) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.4.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b)
w zbiorze .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.5.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.6.

a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.

b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.7.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.8.

a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

w zbiorze

.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.9.

(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek

miał największą wartość.

Wskazówka
Rozwiązanie