Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 1: Przestrzenie metryczne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Przestrzenie metryczne

Ćwiczenie 1.1.

Niech będzie dowolną liczbą naturalną oraz niech oznacza zbiór wszystkich słów długości (to znaczy ciągów liter długości ). W teorii kodowania rozważa się funkcję definiowaną przez:

ilość pozycji, na których w słowach i występują różne litery

(a) Udowodnić, że jest metryką w (jest to tak zwana metryka Hamminga).
(b) Czy nadal będzie metryką, gdy w powyższej definicji słowo "różne" zastąpimy przez "takie same"?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.2.

Niech będzie dowolnym zbiorem niepustym oraz niech będzie dowolną iniekcją. Udowodnić, że odwzorowanie dane wzorem

jest metryką w

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.3.

Sprawdzić, czy funkcja dana wzorem

jest metryką w Jeśli tak, to jak wyglądają kule oraz w tej metryce.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.4.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów zachodzi implikacja

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.5.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnego oraz zachodzi Czy nierówność "" można zastąpić równością?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.6.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że jeśli oraz to oraz

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.7.

Udowodnić, że kule w są zbiorami otwartymi.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.8.

Dany jest zbiór oraz dwa punkty oraz Wyznaczyć
(a) odległość punktów i ,
(b) ,
(c)
kolejno w metrykach: dyskretnej ; metryce rzece gdy "rzeką" jest prosta o równaniu ; metryce kolejowej gdy "węzłem" kolejowym jest punkt

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.9.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że
(a) suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
(b) przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Wskazówka
Rozwiązanie