Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 13: Równania różniczkowe zwyczajne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Równania różniczkowe zwyczajne

Ćwiczenie 13.1.

Zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego, liczba atomów izotopu pierwiastka promieniotwórczego, która ulega rozpadowi w jednostce czasu, jest proporcjonalna do ogólnej liczby atomów tego izotopu, która nie uległa rozpadowi. Definiuje się okres połowicznego rozpadu jako czas, po którym połowa atomów danego izotopu ulega rozpadowi. Z obserwacji wynika, że okres połowicznego rozpadu oznaczany literą (lub ) jest stałą wielkością charakteryzującą dany izotop (tzn. nie zmienia się w czasie ani nie zależy od innych czynników chemicznych czy fizycznych).

a) Wyznaczyć zależność pozostałej liczby atomów izotopu od czasu (z wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu).

b) Jaki czas musi upłynąć, by promieniotwórczy stront (90) zredukował liczbę swoich atomów do 1/16 jej wartości początkowej? Okres połowicznego rozpadu strontu wynosi 28 lat.

c) Polon-210 ma okres połowicznego rozpadu równy 140 dni. Jaki procent początkowej liczby jego atomów pozostanie po 100 dniach?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.2.

Bank prowadzi konta z ciągłą kapitalizacją odsetek. Niech oznacza wartość w chwili kapitału złożonego w tym banku (jednostką czasu jest 1 rok). Niech będzie roczną stopą procentową.

a) Pokazać, że zachodzi równanie .

b) Na jaki okres należy złożyć kapitał w banku z ciągłą kapitalizacją odsetek i roczną stopą procentową , by go podwoić?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.3.

Niech będą liczbami rzeczywistymi, dodatnimi i niech

Udowodnić, że jeśli funkcja jest ciągła, jej pochodna cząstkowa względem zmiennej istnieje, jest ciągła i ograniczona w zbiorze , to problem początkowy Cauchy'ego

ma rozwiązanie i jest ono jedyne.

Korzystając z powyższego twierdzenia, wyznaczyć zbiory punktów , dla których istnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu Cauchy'ego

a)

b)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.4.

Pokazać, że dla dowolnej stałej funkcje

i , są rozwiązaniami równania różniczkowego . Czy istnieją jeszcze jakieś rozwiązania tego równania nie uwzględnione powyżej? Czy istnieje taki problem początkowy Cauchy'ego dla tego równania, który nie ma rozwiązania? Wskazać wszystkie takie punkty , dla których problem początkowy

a) ma rozwiązanie jednoznaczne w przedziale dla pewnego ,

b) ma co najmniej dwa różne rozwiązania w przedziale dla dowolnego .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.5.

Pokazać, że dla dowolnej stałej funkcje

są rozwiązaniami równania różniczkowego . Czy istnieją jeszcze jakieś rozwiązania tego równania nie uwzględnione powyżej? Wskazać wszystkie takie punkty , dla których problem początkowy

a) nie ma rozwiązania,

b) ma rozwiązanie jednoznaczne w przedziale dla pewnego ,

c) ma co najmniej dwa różne rozwiązania w przedziale dla dowolnego .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.6.

Wykorzystując metodę kolejnych przybliżeń Picarda, znaleźć rozwiązanie problemu początkowego Cauchy'ego

a)

b) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.7.

Wykorzystując metodę łamanych Eulera dla

a) skonstruować przybliżony obraz krzywej całkowej problemu początkowego w przedziale i obliczyć przybliżoną wartość ;

b) skonstruować przybliżony obraz krzywej całkowej problemu początkowego w przedziale i obliczyć przybliżoną wartość .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.8.

Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu 5 w punkcie funkcji , będącej rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego

a)

b)
i obliczyć przybliżoną wartość .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 13.9.

Interpretując obraz pola wektorowego

(lub pola kierunków), określić w przybliżeniu przebieg rozwiązania równania różniczkowego , jeśli


a)

b) ,

c) ,

d) ,

e)
Wskazówka
Rozwiązanie