Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).

Ten wykład jest pierwszym z dwóch wykładów poświęconych ciągom iszeregom funkcyjnym. Z szeregami liczbowymi spotkaliśmy się już na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Przypomnijmy, że liczbę możemy otrzymać jako sumę szeregu . Okazuje się, że zachodzi ogólniejszy fakt

dla

Zapiszmy ten wzór tak

Jeśli w powyższej sumie weźmiemy tylko skończoną ilość składników, to oczywiście nie dostaniemy dokładnie wartości , niemniej dostaniemy dobre jej przybliżenie. Pozwala to nam policzyć np. dość dokładnie jako sumę

(gdzie zwiększając liczbę składników, zwiększamy dokładność).

Na wykładzie zobaczymy, że wiele funkcji (przy odpowiednich założeniach) można zapisać jako sumę szeregu , gdzie funkcje są na przykład jednomianami (czyli są postaci jak w powyższym przykładzie z ) albo są funkcjami trygonometrycznymi (patrz szeregi Fouriera). Da nam to możliwość przybliżania funkcji przez sumę początkowych wyrazów szeregu.

Przy odpowiednich założeniach będziemy też mogli powiedzieć, czy funkcja dana jako suma szeregu jest ciągła, różniczkowalna, czy też klasy .

Ciągi funkcyjne

Plik:Am2.m04.w.r01.svg
Wykresy funkcji dla oraz funkcji granicznej
Plik:Am2.m04.w.r02.svg
Wykresy funkcji dla oraz funkcji granicznej

Definicja 4.1.

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech będzie przestrzenią metryczną. Niech oraz będą funkcjami dla .
(1) Mówimy, że ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji i piszemy lub , jeśli



co z kolei (z definicji granicy ciągu w przestrzeniach metrycznych; patrz Analiza matematyczna 1 definicja 2.2.) oznacza, że



(2) Mówimy, że ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji na zbiorze i piszemy jeśli



Zauważmy, że definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji zbieżności punktowej dobierane do może zmieniać się w zależności od punktu . Natomiast w definicji zbieżności jednostajnej dobrane do nie zależy od . Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.2.

Jeśli jest dowolnym zbiorem, przestrzenią metryczną, oraz funkcjami dla , to

Uwaga 4.3.

Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli ciąg funkcyjny ma granicę punktową , to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji , to . Innymi słowy jeśli ciąg ma granicę punktową , to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja . Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej (patrz uwaga poniżej).

Uwaga 4.4.

Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu 4.2. (czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności jednostajnej).
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg funkcji zdefiniowanych przez

dla


Wyrźnie widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji

Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji . Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Weźmy teraz . Z naszej hipotezy wynika, że

Ale ponieważ , gdy , zatem

Zatem

co daje sprzeczność z wyborem .

Uwaga 4.5.

Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność jednostajna . Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji ", to dla odpowiednio dużych wykresy wszystkich funkcji będą w tym otoczeniu.
Na pierwszym rysunku mamy ciąg funkcji dla . Żadna z tych funkcji nie zawiera się w epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej (patrz uwaga 4.4.)
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji dla . Tutaj widać, że dla dowolnie małego , wszystkie funkcje począwszy od pewnego znajdą się w pasie , który jest otoczeniem funkcji granicznej .

Plik:Am2.m04.w.r03.svg
Ciąg funkcji nie jest jednostajnie zbieżny na przedziale
Plik:Am2.m04.w.r04.svg
Ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny na przedziale

Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (patrz uwaga 4.4. i 4.7.).

Twierdzenie 4.6. [ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych]

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, oraz są funkcjami dla , oraz
to
(1) jeśli funkcje są ciągłe w punkcie , to jest funkcją ciągłą w punkcie ;
(2) jeśli funkcje są ciągłe, to jest funkcją ciągłą.

Dowód 4.6.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje są ciągłe w punkcie .
Ustalmy dowolne . Ponieważ zatem

w szczególności

Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie , więc

Niech teraz będzie taki, że . Wówczas, korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech powyższych nierówności, mamy

zatem pokazaliśmy, że

a to oznacza ciągłość funkcji w punkcie .
(Ad (2)) Od razu wynika z (1).

End of proof.gif
Uwaga 4.7.

Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w uwadze 4.4. składał się z funkcji ciągłych oraz miał granicę nieciągłą, więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować, że nie jest on jednostajnie zbieżny.

Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji , to samo dają dwie następujące operacje:
(1) obliczenie granicy ciągu funkcyjnego , a następnie obliczenie granicy funkcji granicznej w punkcie oraz
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu w punkcie , a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym ciągiem liczbowym granic.
Zachodzi zatem następujący wzór:

Zwróćmy uwagę, że każdy z symboli "" po lewej i prawej stronie oznacza co innego (raz jest to granica ciągu liczbowego, a raz granica funkcji w punkcie). Formalne sformułowanie powyższego wzoru wraz ze wszystkimi założeniami potrzebnymi do jego zachodzenia podane jest w poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Twierdzenie 4.8.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, przy czym przestrzeń jest zupełna, , oraz są funkcjami dla , jest punktem skupienia zbioru oraz

to
(1) ciąg jest zbieżny;
(2) .

Szeregi funkcyjne

Definicja 4.9.

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech będą funkcjami dla .
Szeregiem (lub ) nazywamy ciąg (tzw. ciąg sum częściowych) , gdzie , to znaczy , dla .

Mówimy, że szereg jest zbieżny (punktowo) na do sumy , jeśli

punktowo, to znaczy dla

Wówczas piszemy .

Mówimy, że szereg jest zbieżny jednostajnie na do sumy , jeśli

Twierdzenie 4.10.

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym, to

szereg jestzbieżny szeregliczbowy jestzbieżny

Dowód 4.10.

Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.

End of proof.gif

Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna temu, iżjego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.). Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.

Twierdzenie 4.11.

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym, to szereg jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy

Dowód 4.11.

""
Załóżmy, że szereg jest jednostajnie zbieżny do funkcji i oznaczmy przez ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne . Z definicji jednostajnej zbieżności ciągu wynika, że

Zatem dla mamy

A zatem szereg spełnia warunek Cauchy'ego.

""
Załóżmy teraz, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego. Po pierwsze zauważmy, że wówczas dla dowolnego szereg liczbowy spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych, a zatem jest zbieżny (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.) punktowo, powiedzmy do funkcji , to znaczy dla . Pokażemy, że szereg jest zbieżny do jednostajnie.

Niech ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne . Z warunku Cauchy'ego wiemy, że

a to oznacza, że dla oraz mamy

Przejdźmy w powyższej nierówności do granicy z (przy ustalonych i ). Dostajemy

A zatem ciąg , czyli szereg jest jednostajnie zbieżny do , co należało dowieść.

End of proof.gif

Analogicznie jak w przypadku ciągów funkcyjnych, zbieżność jednostajna szeregów implikuje zbieżność punktową. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Twierdzenie 4.12. [Zbieżność a jednostajna zbieżność]

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do sumy , to (to znaczy szereg jest zbieżny (punktowo) do sumy ).

Analogicznie do twierdzenia dotyczącego ciągów, dla szeregów także mamy ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.

Twierdzenie 4.13. [Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych]

Jeśli , , są funkcjami dla oraz szereg jest jednostajnie zbieżny do sumy , to
(1) jeśli funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego , to jest funkcją ciągłą w ;
(2) jeśli funkcje są ciągłe dla każdego , to jest funkcją ciągłą.

Dowód 4.13.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego . Zatem także sumy częściowe są ciągłe w punkcie (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 8.9.). Zatem z twierdzenia 4.6. wnioskujemy, że granica (która istnieje z założenia) jest funkcją ciągłą.
(Ad (2)) Wynika wprost z (1).

End of proof.gif

Dla szeregów zachodzi twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4.8.. Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w punkcie, to otrzymamy to samo co licząc granice w punkcie dla poszczególnych wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak otrzymanego szeregu liczbowego. Innymi słowy, w szeregu jednostajnie zbieżnym można przejść do granicy w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy

Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na twierdzenia 4.8. zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.

Twierdzenie 4.14.

Jeśli , jest punktem skupienia zbioru , są funkcjami dla , szereg jest jednostajnie zbieżny oraz

to
(1) jest szeregiem liczbowym zbieżnym;
(2) istnieje granica oraz .

Dla szeregów funkcyjnych podamy jedno kryterium zbieżności. Jest ono odpowiednikiem kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są wspólnie ograniczone przez wyrazy szeregu liczbowego zbieżnego, to szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zauważmy, że kryterium to ma dość silne założenie wspólnej ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność (punktową), ale aż zbieżność jednostajną.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.15. [Kryterium Weierstrassa]

Jeśli są funkcjami dla , szereg jest zbieżny oraz , to szereg jest jednostajnie zbieżny na .

Dowód 4.15.

Na mocy twierdzenia 4.11. wiemy, że wystarczy pokazać zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego . W tym celu ustalmy dowolne . Ponieważ szereg jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.), zatem

Zatem dla oraz dla dowolnego mamy

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów, a więcjest jednostajnie zbieżny.

End of proof.gif

W kolejnym przykładzie wykorzystamy kryterium Weierstrassa do zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.

Przykład 4.16.

Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego . Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na .

Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu są ograniczone przez wyrazy pewnego zbieżnego szeregu liczbowego. Wyznaczmy ekstrema funkcji . Obliczamy pochodne:

Z warunku koniecznego istnienia ekstremum (zauważmy, że funkcje są klasy ) otrzymujemy

Zauważając ponadto, że , stwierdzamy, że funkcja ma ekstrema globalne w punktach . Zatem

Ponieważ szereg jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem ; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny (i to bezwzględnie) dla każdego oraz z kryterium Weierstrassa (patrz twierdzenie 4.15.) jest zbieżny jednostajnie w .

Korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych (patrz twierdzenie 4.13.), otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego

szeregu jest ciągła.
Wykresy funkcji dla
Plik:Am2.m04.w.r06.svg
Wykresy funkcji dla

Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale nie koniecznego zbieżności szeregów funkcyjnych. Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.

Wykres funkcji

Przykład 4.17.

Pokazać jednostajną zbieżność szeregu na przedziale , gdzie

Należy zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.

Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu . Ponieważ przedziały są parami rozłączne, więc

Zatem

Ponieważ funkcje na przedziale są dodatnie i przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące , zatem

więc na , co należało pokazać.
Zauważmy ponadto, że

oraz każdy szereg taki, że , jest rozbieżny z kryterium porównawczego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.). Zatem założenia twierdzenia Weierstrassa

nie są spełnione.

Szereg Taylora

Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 10.9.).

Twierdzenie 4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]

Jeśli jest przedziałem, jest funkcją -krotnie różniczkowalną, , to

gdzie

Niech oraz niech . Niech .
Możemy rozważać szereg

zwany szeregiem Taylora funkcji o środku w punkcie (umowa ).
W szczególności dla mamy

Plik:Am2.m04.w.r08.svg
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora
Colin Maclaurin (1698-1746)
Zobacz biografię

zwany szeregiem Maclaurina.

Z twierdzenia 4.18. (o wzorze Taylora) wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora był zbieżny, jest aby , gdzie oznacza resztę Lagrange'a we wzorze Taylora.

Twierdzenie 4.19.

Szeregi Maclaurina funkcji: , oraz są zbieżne w , a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla mamy

Dowód 4.19.

Ponieważ wszystkie pochodne funkcji wynoszą dla , zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:

gdzie dla pewnego (lub , gdy ). Zatem

Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina do funkcji , należy wykazać, że ciąg reszt zmierza do zera (dla dowolnego ). Mamy

Ostatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym zmierza do gdy . A zatem

Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.

End of proof.gif
Plik:Am2.m04.w.r09.svg
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora
Plik:Am2.m04.w.r10.svg
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora
Uwaga 4.20.

Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jest

Aby to pokazać, należy obliczyć pochodne funkcji w (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.

Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w nazywamy analitycznymi.