Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ćwiczenie 2.1.

Niech będzie przestrzenią metryczną, niech będzie ciągiem oraz niech Udowodnić, że jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu to

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.2.

Niech będzie przestrzenią metryczną, ciągiem oraz niech Udowodnić, że jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.3.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi dla ciągiem w (w szczególności dla oraz ). Udowodnić, że:
(1) , wtedy i tylko wtedy, gdy dla

(2) Ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi spełniają warunek Cauchy'ego dla

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.4.

Pokazać z definicji, że (z metryką euklidesową) nie jest zbiorem zwartym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.5.

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.6.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory i są spójne, to zbiór jest spójny";
"jeśli zbiory i są spójne, to zbiór jest spójny";
"jeśli zbiór jest spójny, to zbiory i są spójne".

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.7.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory i są zwarte, to zbiór jest zwarty";
"jeśli zbiór jest zwarty, to zbiory i są zwarte".

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.8.

Opisać jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.9.

Rozważmy płaszczyznę z metryką kolejową z węzłem Zbadać zbieżność dwóch ciągów: i w tej metryce, gdy oraz dla

Wskazówka
Rozwiązanie