Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 15: Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Ćwiczenie 15.1.

W przestrzeni funkcji ciągłych o ciągłej pochodnej określamy normę wzorem

Wówczas odległość od w tej przestrzeni wynosi .

a) Wyznaczyć odległość funkcji i w tej przestrzeni.

b) Wyznaczyć odległość funkcji i w tej

przestrzeni.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.2.

a) Pokazać, że równanie Lagrange'a-Eulera jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu (co najwyżej) drugiego.

b) Czy równanie Lagrange'a-Eulera jest równaniem różniczkowym

liniowym?
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.3.

Jak wygląda równanie Lagrange'a-Eulera, jeśli funkcja Lagrange'a

nie zależy od zmiennej ? Wyznaczyć ekstremalę funkcjonału

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.4.

Jak wygląda równanie Lagrange'a-Eulera, jeśli funkcja nie zależy ani od pierwszej, ani od trzeciej zmiennej? Wyznaczyć ekstremalę funkcjonału

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.5.

Wykazać, że jeśli funkcja Lagrange'a nie zależy od zmiennej , to równanie Lagrange'a -Eulera jest równoważne równaniu to jest równaniu

gdzie jest pewną stałą.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.6.

a) Wyznaczyć ekstremalę funkcjonału

b) Czy każde zagadnienie wariacyjne ma rozwiązanie?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.7.

Wyznaczyć ekstremalę funkcjonału

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.8.

Wyznaczyć ekstremalę funkcjonału

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.9.

Punkt porusza się z prędkością po krzywej łączącej punkty i z prędkością . Prędkość (precyzyjniej: długość wektora prędkości) jest równa rzędnej punktu, w którym aktualnie się znajduje, tj. . Wyznaczyć krzywą, po której dany punkt przebędzie drogę od do w najkrótszym czasie.

Wskazówka
Rozwiązanie