Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 3: Norma. Iloczyn skalarny

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Norma. Iloczyn skalarny

Ćwiczenie 3.1.

W przestrzeni wektorowej definiujemy:

dla

Pokazać, że oraz są normami (nazywamy je odpowiednio normą euklidesową, normą taksówkową oraz normą maksimową).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.2.

Pokazać, że norma euklidesowa zadaje metrykę euklidesową, norma taksówkowa zadaje metrykę taksówkową, a norma maksimowa zadaje metrykę maksimową.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.3.

Wykazać bezpośrednio równoważność norm: (taksówkowej), (euklidesowej) i (maksimowej) w znajdując optymalne stałe () w następujących nierównościach:

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.4.

Niech i będą dwiema przestrzeniami wektorowymi. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? (Dla każdego podać dowód lub kontrprzykład).
(1) Jeśli zbiory są wypukłe, to zbiór jest wypukły.
(2) Jeśli zbiory są wypukłe, to zbiór jest wypukły.
(3) Jeśli zbiory są wypukłe, to zbiór jest wypukły.
(4) Jeśli zbiory i są wypukłe, to zbiór jest wypukły w

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.5.

W przestrzeni wektorowej funkcji ciągłych na przedziale definiujemy:

(1) Pokazać, że jest normą w Nazywamy ją normą supremową.
(2) Obliczyć normę supremową dla funkcji: oraz
(3) Udowodnić, że zbieżność w normie supremowej pokrywa się ze zbieżnością jednostajną dla funkcji ciągłych na przedziale

(4) Pokazać, że z normą supremową jest przestrzenią Banacha.

(Punkty (3) i (4) są nadobowiązkowe. Potrzebne są tu pewne pojęcia z następnego wykładu. Do zadania można wrócić po następnym wykładzie).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.6.

Niech i oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w Pokazać, że

jest normą w Dla narysować kulę w tej normie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.7.

Niech i oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w Sprawdzić, czy

jest normą w

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.8.

W wprowadzamy

dla

(1) Pokazać, że jest iloczynem skalarnym w
(2) Jak wygląda norma zadana przez ten iloczyn skalarny? Obliczyć
(3) Dane są dwa wektory i Dobrać parametr tak, aby (oczywiście w rozważanym iloczynie skalarnym).
(4) Narysować kulę w metryce zadanej przez ten iloczyn skalarny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.9.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Niech będą dwiema przestrzeniami unormowanymi oraz odwzorowaniem liniowym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
(i) jest ciągła;
(ii) : jest ciągła w ;
(iii) jest ciągła w ( oznacza wektor zerowy przestrzeni wektorowej );
(iv) (to znaczy odwzorowanie jest ograniczone na domkniętej kuli o promieniu );
(v) (warunek ten nazywa się ograniczonością dla odwzorowania liniowego);
(vi) jest jednostajnie ciągła.

Wskazówka
Rozwiązanie