Analiza matematyczna 2/Wykład 12: Całka krzwoliniowa. Twierdzenie Greena

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena

Ten wykład poświęcony jest pojęciu całki krzywoliniowej i twierdzeniu pozwalającemu liczyć całki krzywoliniowe przy pomocy całek podwójnych (albo vice versa) - czyli twierdzeniu Greena. Nasze rozważania dotyczące krzywych ograniczamy do krzywych płaskich (leżących w ). Podajemy definicje parametryzacji krzywej, krzywej regularnej, krzywej zamkniętej, orientacji, zbioru normalnego i zbioru regularnego. Twierdzenia Greena dowodzimy dla zbiorów regularnych. Wprowadzamy też pojęcie pola potencjalnego.

Na początku tego wykładu warto przypomnieć sobie twierdzenie Newtona-Leibniza (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 14.15.), które mówi, że

gdzie jest pierwotną funkcji . Zauważmy, że twierdzenie to wyraża całkę z funkcji po odcinku (przedziale ) za pomocą wartości na brzegu odcinka (to znaczy w punktach i ).

Okazuje się, że twierdzenie to można uogólnić. Takim uogólnieniem będzie twierdzenie Greena, które poznamy na tym wykładzie. Pozwala ono zamienić całkowanie po obszarze płaskim na całkowanie po krzywej, która ogranicza ten obszar.

Krzywe

Przypomnijmy definicję krzywej zwyczajnej (patrz Analiza matematyczna 1 definicja 15.1.).

Niech będzie przedziałem w Weźmy ciągłą funkcję

Załóżmy, że funkcja jest różnowartościowa na i na (Możliwe jest więc, że ). Definicja 12.1.

Przy założeniach jak wyżej, krzywą zwyczajną będziemy nazywać obraz odcinka przez

Funkcję nazywamy parametryzacją krzywej

W dalszych rozważaniach będziemy zajmować się tylko krzywymi zwyczajnymi (czyli takimi, które nie mają punktów wielokrotnych, więc będziemy pisać "krzywa", zakładając, że jest to krzywa zwyczajna.

Uwaga 12.2.

Krzywa może mieć różne parametryzacje.

Przykład 12.3.

Jako krzywą weźmy odcinek w łączący punkt z punktem Oto przykłady parametryzacji :
(1)
(2)
(3)



Plik:AM2.M12.W.R02.svg
Parametryzacje odcinka

Definicja 12.4.

(1) Krzywą nazywamy łukiem gładkim, jeśli istnieje parametryzacja taka, że pochodne i są ciągłe oraz zachodzi

dla każdego

(2) Krzywą nazywamy regularną, jeśli można ją podzielić na skończoną ilość łuków gładkich, to znaczy, jeśli istnieje parametryzacja i istnieje podział odcinka punktami taki, że parametryzuje łuk gładki.
(3) Jeśli , to krzywą nazywamy

zamkniętą.
Plik:AM2.M12.W.R04.svg
Krzywa regularna, która nie jest łukiem gładkim
Plik:AM2.M12.W.R05.mp4
Krzywa, która nie jest zwyczajna

Weźmy teraz krzywą i jej parametryzację Ustalmy takie, że i oznaczmy Niech będzie inną parametryzacją krzywej

Definicja 12.5.

(1) Mówimy, że zadaje na tę samą orientację co , jeśli dla takich, że i mamy
(Oznacza to, że dla przebiegających wartości od do wartości "wędrują" po krzywej od punktu do punktu tak samo jak wartości dla przebiegającego od do ).
(2) Mówimy, że zadaje na orientację przeciwną niż jeśli dla takich, że i mamy
(Tym razem dla przebiegających wartości od do wartości "wędrują" po krzywej od punktu do punktu ).

Jeśli , to jako możemy wziąć po prostu i

Przykład 12.6.

Wróćmy do trzech parametryzacji odcinka, pokazanych w przykładzie powyżej. Łatwo zauważyć, że zadaje na tę samą orientację co , a zadaje orientację przeciwną niż (i ); weźmy na przykład wtedy oraz mamy i Dla natomiast, i a więc zadaje orientację przeciwną niż (patrz rysunek do przykładu 12.3.)

Możemy teraz zdefiniować całkę krzywoliniową zorientowaną.

Definicja 12.7.

Niech będzie krzywą w daną przez parametryzację Niech będzie odwzorowaniem ciągłym

Niech oznacza iloczyn skalarny w przez oznaczymy zmienne w Wówczas całkę

nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną po krzywej i oznaczamy

gdzie

Plik:AM2.M12.W.R06.mp4
Krzywa zw. zamknięta będąca łukiem gładkim
Plik:AM2.M12.W.R07.mp4
Krzywa regularna zamknięta

Zauważmy, że

wszystkie funkcje występujące w tym wyrażeniu są z założenia ciągłe, zatem istnieje całka (Riemanna) po przedziale z

Uwaga 12.8.

Zapis i oznaczenia
Całkę krzywoliniową dla krzywej w zapisuje się najczęściej jako

a dla krzywej zamkniętej

Wykażemy teraz następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 12.9.

Niech i będą jak wdefinicji 12.7. Niech będzie inną parametryzacją krzywej Jeśli zadaje tę samą orientację krzywej co , to

jeśli natomiast zadaje orientację krzywej przeciwną niż , to

Stwierdzenie to mówi zatem, że dla parametryzacji dających tę samą orientację krzywej, całki krzywoliniowe zorientowane są równe. Dla parametryzacji dających orientację przeciwną, całka krzywoliniowa zorientowana zmienia znak - i stąd nazwa "zorientowana".

Warto tu zauważyć, że w takim razie - z dokładnością do znaku - całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji, zależy tylko od krzywej jako zbioru i od odwzorowania .

Dowód 12.9.

Weźmy parametryzację krzywej dającą tę samą orientację co Musimy wykazać, że

Oznaczmy przez Wtedy i A zatem :

Skorzystamy z twierdzenia o zmianie zmiennych w całce Riemanna (Analiza matematyczna 1 twierdzenie 14.19). Przyjmijmy wtedy i mamy

co należało dowieść.

Niech teraz będzie parametryzacją dającą orientację przeciwną Mamy wykazać, że

Zdefiniujmy parametryzację następująco:

Nietrudno zobaczyć, że jeśli daje orientację przeciwną niż , to daje tę samą orientację co A zatem z pierwszej części dowodu mamy

Zauważmy, że Przyjmując mamy zatem:

End of proof.gif
Uwaga 12.10.

(1) Niech będzie parametryzacją krzywej Przez będziemy oznaczać krzywą z parametryzacją ( zadaje orientację przeciwną niż ).
(2) Jeśli krzywa ma parametryzację , a krzywa parametryzację oraz , to przez będziemy oznaczać krzywą o parametryzacji

(Czyli jest "sklejeniem" krzywych i w ten sposób, że koniec łączy się z początkiem ).

Przykład 12.11.

(1) Policzyć całkę

gdzie jest górną połową okręgu o promieniu

Górna połowa okręgu o promieniu jest sparametryzowana przez

A zatem zgodnie z definicją całki krzywoliniowej

(2) Policzyć całkę

gdzie jest okręgiem o promieniu

Parametryzacją okręgu o promieniu jest

zatem

(3) Policzyć całkę

gdzie jest odcinkiem w łączącym punkt z Punktem

Jak już wiemy, odcinek możemy sparametryzować za pomocą:

Stąd

Plik:AM2.M12.W.R08.mp4
Dodatnia orientacja krzywej

Sformułujemy teraz i udowodnimy twierdzenie, które mówi o związku całki krzywoliniowej z całką podwójną. Potrzebne nam będzie pojęcie krzywej zamkniętej "zorientowanej dodatnio". Weźmy krzywą zamkniętą w ograniczającą zbiór Wybierzmy parametryzację krzywej Wybór parametryzacji wyznacza kierunek obiegu krzywej - z danego punktu poruszamy się w kierunku pokazywanym przez wektor styczny Umawiamy się, że jest zorientowana dodatnio, jeśli przy obiegu zgodnie z kierunkiem wyznaczonym przez parametryzację zbiór zostaje "po naszej lewej stronie".

Weźmy teraz krzywą zorientowaną dodatnio ograniczającą zbiór Niech oznacza (Zapisujemy także jest brzegiem ). Załóżmy, że zbiór jest normalny ze względu na obie osie. Weźmy dwie funkcje ciągłe w i mające ciągłe pochodne cząstkowe w . Możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie.

Twierdzenie 12.12. [Twierdzenie Greena]

Niech krzywa zbiór oraz funkcje i będą jak wyżej. Wtedy:

Dowód 12.12.

Wykażemy, że

i

Skoro zbiór jest normalny względem osi , to istnieje przedział i dwie funkcje takie, że

Oznaczmy przez wykres funkcji , a przez wykres funkcji Wówczas

zatem

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:

oraz

a zatem

Analogicznie, skoro jest normalny względem osi , to istnieje przedział i dwie funkcje takie, że

Oznaczmy przez wykres funkcji , a przez wykres funkcji Wówczas

zatem

analogicznie jak wyżej

End of proof.gif
Uwaga 12.13.

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.

Dowód 12.13.

Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi Niech będzie krzywą dzielącą na niech Zauważmy, że jeśli i zorientujemy dodatnio, to krzywą przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę, możemy zatem napisać

Wtedy

End of proof.gif

Przykład 12.14.

(1) Policzyć jeszcze raz całkę

gdzie jest okręgiem o promieniu tym razem korzystając z twierdzenia Greena.

Oznaczmy przez koło o promieniu Teraz Z twierdzenia Greena mamy:

Wykażemy jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 12.15.

Pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywą wyraża się za pomocą całek krzywoliniowych następująco:

albo

Dowód 12.15.

Faktycznie, z twierdzenia Greena mamy

End of proof.gif

Powiemy jeszcze kilka słów o polach potencjalnych. Z polami potencjalnymi spotkaliśmy się już na wykładzie poświęconym funkcjom wielu zmiennych. Przypomnijmy, że polem wektorowym nazywamy odwzorowanie z w . (Nazwa bierze się stąd, że każdemu punktowi z przyporządkowujemy wartość odwzorowania w tym punkcie, a więc wektor z ).

Niech teraz będzie zbiorem, którego brzegiem jest jedna krzywa (zwyczajna) zamknięta , to znaczy . (Taki zbiór będziemy nazywać zbiorem jednospójnym. Przykładem zbioru, który jest jednospójny jest koło. Koło bez środka nie jest zbiorem jednospójnym).

Na określmy odwzorowanie (pole wektorowe)

Faktycznie to odwzorowanie każdemu punktowi przyporządkowuje wektor z

Będziemy zakładać, że nasze pole wektorowe jest ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe w

Definicja 12.16.

Mówimy, że pole wektorowe jest polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja (zwana potencjałem pola) taka, że

co zapisujemy krótko

Uwaga 12.17.

Zauważmy, że jeśli pole jest potencjalne, to z faktu, że i wynika, że , bo oba wyrażenia są równe .

Korzystając z twierdzenia Greena, możemy wykazać, że w polu potencjalnym całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania. Dokładniej, zachodzi następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie 12.18.

Niech będzie obszarem jednospójnym w , a polem wektorowym na Niech i będą dwoma punktami w , a i dwoma krzywymi łączącymi punkty i Wówczas

Dowód 12.18.

Stwierdzenie wykażemy tylko w przypadku, gdy krzywe i nie przecinają się i ograniczają razem zbiór normalny (względem którejś osi) czyli tak jak w dowodzie twierdzenia Greena. Wtedy z twierdzenia Greena mamy

bo obie pochodne cząstkowe są sobie równe (zobacz wyżej).

End of proof.gif

Zauważmy, że z tego stwierdzenia wynika od razu, że całka po krzywej zamkniętej w polu potencjalnym wynosi zero.

Można także sformuowaćnastępujące stwierdzenie (dowód pominiemy).

Stwierdzenie 12.19.

Niech będzie obszarem jednospójnym w , a polem wektorowym klasy na Jeśli

to pole jest polem potencjalnym.

Przykład 12.20.

Przypomnijmy znany z fizyki wzór na pracę. Niech będzie polem wektorowym reprezentującym siłę. Siły pola działają na punkt, który przesuwamy po krzywej Wtedy praca pola sił wyraża się wzorem

(1) Policzmy pracę wykonaną przez pole sił

wzdłuż krzywej : przy przesunięciu punktu od punktu do punktu

Krzywą możemy sparametryzować dla tak więc Mamy zatem

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

(2) Dane jest pole sił:

Policzyć pracę wykonaną przez pole sił przy przesuwaniu punktu wokół okręgu o środku w punkcie i promieniu

Sprawdźmy, że pole jest polem potencjalnym w zbiorze będącym kołem o środku w punkcie i promieniu (Taki zbiór wybieramy, by móc zastosować stwierdzenie 12.19, do zbioru nie może należeć punkt bo tam i nie są określone).

Policzmy: tak więc pole jest potencjalne na podstawie stwierdzenia stwierdzenia 12.19, a w polu potencjalnym całka po krzywej zamkniętej

(a więc także po naszym okręgu) jest równa zero.
Plik:AM2.M12.W.R10.svg
Wektor pola wektorowego na krzywej oraz jego składowa styczna do krzywej

Na zakończenie warto wspomnieć o związku całki krzywoliniowej zorientowanej z całką krzywoliniową niezorientowaną, wprowadzoną na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Weźmy krzywą o parametryzacji Niech będzie polem wektorowym na Mamy wówczas całkę krzywoliniową zorientowaną:

Z definicji iloczynu skalarnego w i normy euklidesowej w ,

gdzie oznacza długość wektora , a jest kątem pomiędzy wektorem , a wektorem stycznym Ze wzoru na długość wektora mamy

Zauważmy jeszcze, że

jest długością rzutu prostopadłego wektora na styczną do krzywej, czyli długością składowej stycznej. A zatem