Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Przestrzenie metryczne

Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej. Prezentujemy definicję metryki i przykłady przestrzeni metrycznych. Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i średnicę zbioru. Następnie wprowadzamy pojęcia zwartości i spójności w przestrzeniach metrycznych. Dowodzimy, że przedział domknięty i ograniczony jest zbiorem zwartym w oraz charakteryzujemy zbiory spójne w

Jedną z najistotniejszych idei matematyki jest idea aproksymacji. Z aproksymacją mamy do czynienia wtedy, gdy pewien obiekt (liczbę, funkcję, zbiór) przedstawiamy jako granicę (w odpowiednim sensie) ciągu obiektów . Możemy wtedy wnioskować o własnościach "mniej znanego" obiektu z własności "bardziej znanych" obiektów . Każdy z nas zetknął się z aproksymacją, chociażby w stwierdzeniu " wynosi mniej więcej " (tu przybliżamy liczbę niewymierną ciągiem liczb wymiernych). Na wykładzie poświęconym ciągom funkcyjnym dowiemy się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele różnych rodzajów zbieżności (czyli przejść granicznych) potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna, a zarazem prosta teoria przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy się działem teorii przestrzeni metrycznych - przestrzeniami unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na wektorach.

Metryka

Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości w poznaliśmy na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki. Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla dowolnego (niepustego) zbioru (a nie tylko dla ). W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości między elementami dowolnego zbioru .

Definicja 1.1. [metryka, odległość]

Niech będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze nazywamy dowolną funkcję spełniającą następujące warunki:
(i) ;
(ii) (warunek symetrii);
(iii) (warunek trójkąta).
Parę nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych liczbę nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że punkty i oddalone od siebie o

Definicja kuli w dowolnej przestrzeni metrycznej jest analogiczna do poznanej na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w .

Definicja 1.2. [kula, kula domknięta]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz opiszemy, jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.

Metryka dyskretna

Przykład 1.3. [Metryka dyskretna]

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech

Zauważmy, iż wartość funkcji dla dwóch dowolnych punktów wynosi gdy są one różne oraz wynosi gdy jest to ten sam punkt.

Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja jest metryką, zatem para jest przestrzenią metryczną. Metrykę tę będziemy nazywali metryczną dyskretną. Faktycznie, z definicji wynika, że dla dowolnych mamy

oraz

Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy Rozważymy następujące przypadki.

1) Jeśli to zatem zawsze zachodzi

2) Jeśli to lub Wtedy również

Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni metrycznej. Jeśli to kula o promieniu składa się z samego środka, ale jeśli to kulą jest cała przestrzeń Mamy zatem


Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami i kulami domkniętymi są jedynie:

zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.


Przypomnijmy teraz standardowe metryki w Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Przykład 1.4. [Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa]

Niech oraz niech



gdzie oraz
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką maksimową w
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką taksówkową w
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką euklidesową w zaś parę nazywamy przestrzenią metryczną euklidesową.

Przypomnijmy, jak wyglądają kule w tych metrykach.
Plik:AM1.M03.W.R05.svg
Kula w metryce maksimowej w
Plik:AM1.M03.W.R06.svg
Kula w metryce maksimowej w
Plik:AM1.M03.W.R09.svg
Kula w metryce taksówkowej w
Plik:AM1.M03.W.R10.svg
Kula w metryce taksówkowej w
Plik:AM1.M03.W.R14.svg
Kula w metryce euklidesowej w
Plik:AM1.M03.W.R15.svg
Kula w metryce euklidesowej w

Dwa kolejne przykłady podają mniej typowe metryki na płaszczyźnie

Plik:AM2.M01.W.R05.svg
Metryka kolejowa

Przykład 1.5. [Metryka rzeka]

Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna jest gęstym lasem oraz pewna prosta jest rzeką. Aby zmierzyć odległość dwóch punktów , musimy wyciąć ścieżkę od do przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.

Mamy dwa przypadki:

(1) Jeśli punkty i są końcami odcinka prostopadłego do rzeki to ich odległość jest równa zwykłej odległości euklidesowej na płaszczyźnie.

(2) Jeśli zaś punkty i nie leżą na prostej prostopadłej do rzeki to musimy utworzyć dwie ścieżki jedną od punktu do rzeki, a drugą od rzeki do punktu zawsze prostopadle do rzeki. Teraz odległość od do będzie równa długości (euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na rzece.
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja jest metryką w

Nazywamy ją metryką rzeką.

Przykład 1.6. [Metryka kolejowa]

Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt węzeł kolejowy, od którego odchodzą półproste, szyny, we wszystkich kierunkach. Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami i , musimy przebyć drogę między nimi, poruszając się po szynach. Rozważmy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty i znajdują się na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu to ich odległość jest zwykłą odległością euklidesową.
(2) Jeśli zaś punkty i nie leżą na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu to ich odległość jest równa sumie odległości euklidesowych od do oraz od do
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką,

zwaną metryką kolejową.


|
Plik:.mp4
AM2.M01.W.R04
|
Plik:.mp4
Kule w metryce kolejowej

Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi. Część z nich była zdefiniowana na Analizie Matematycznej 1.


Plik:AM1.M03.W.R16.svg
Zbiór otwarty

Definicja 1.7.

Niech będzie przestrzenią metryczną, niech oraz
(1) Zbiór nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt zbioru zawiera się w wraz z pewną kulą, czyli

(2) Punkt nazywamy punktem wewnętrznym zbioru jeśli istnieje kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) taka, że zawiera się w Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych i oznaczamy go
(3) Domknięciem zbioru nazywamy zbiór wszystkich punktów oraz wszystkich punktów skupienia zbioru i oznaczamy go
(4) Brzegiem zbioru nazywamy zbiór

Przykład 1.8.

W przestrzeni metrycznej dyskretnej każdy zbiór jest otwarty, bo wraz z każdym punktem zawiera kulę

Przykład 1.9.

W przestrzeni z metryką euklidesową rozważmy zbiór Wówczas

Podobnie jak w tak i w dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzą następujące własności.

Twierdzenie 1.10. [Zbiory w przestrzeniach metrycznych]

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to
(1) Każda kula jest zbiorem otwartym w
(2) Zbiór jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy (dopełnienie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.
(3) Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
(4) Jeśli jest punktem skupienia zbioru to dowolna kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru
(5) Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(6) Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(7) Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(8) Suma skończonej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(9) Dla dowolnego zbioru zbiór (domknięcie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.

Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 3.15.).

Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są w poniższej definicji.

Definicja 1.11.

(1) Srednicą zbioru nazywamy liczbę:

(2) Odległością punktu od zbioru nazywamy liczbę:


(3) Mówimy, że zbiór jest ograniczony, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy

|
Plik:.mp4
Odległość punktu od zbioru
|
Plik:.mp4
Średnica zbioru
[[File:AM1.M03.W.R17.svg|253x
Plik:.mp4
Zbiór ograniczony
Średnica zbioru i odległość punktu od zbioru

Przykład 1.12.

Na płaszczyźnie z metryką euklidesową rozważmy zbiór

oraz punkt Wyznaczyć średnicę zbioru oraz odległość punktu od zbioru

Z poniższego rysunku widzimy, że

oraz

Przykład 1.13.

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną. Jeśli to a jeśli to Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.

Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.

Twierdzenie 1.14.

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

W iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych można także zadać metrykę (tak zwaną metrykę produktową) na kilka naturalnych sposobów. Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów. [[grafika:Kartezjusz.jpg|thumb|right||Kartezjusz (1596-1650)
Zobacz biografię]]

Twierdzenie 1.15. [Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych]

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi dla jest funkcją zdefiniowaną przez

to jest przestrzenią metryczną.
Wówczas nazywamy metryką produktową lub metryką standardową w iloczynie kartezjańskim

Dowód 1.15.

Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.) jest analogiczny do dowodu, że jest metryką w (porównaj Analiza matematyczna 1 przykład 3.7. i lemat 3.9.).

End of proof.gif
Uwaga 1.16.

Metryka euklidesowa w jest metryką standardową w Wynika to wprost z definicji obu metryk.

Uwaga 1.17.

Jeśli jest przestrzenią metryczną oraz to zbiór jest także przestrzenią metryczną z metryką Kule w przestrzeni są równe przecięciom kul z przestrzeni ze zbiorem Metrykę na nazywamy metryką indukowaną. W przyszłości o podzbiorach przestrzeni metrycznej będziemy także mówili "przestrzeń metryczna".

Zwartość

Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 definicja 8.21.).

Definicja 1.18.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz
(1) Pokryciem otwartym zbioru nazywamy dowolną rodzinę zbiorów otwartych taką, że
Pokrycie to nazywamy skończonym, jeśli
(2) Mówimy, że jest podpokryciem pokrycia zbioru jeśli jest pokryciem zbioru oraz
(3) Mówimy, że zbiór jest zwarty, jeśli z każdego pokrycia otwartego zbioru można wybrać pokrycie skończone.

Kolejne twierdzenie zbiera pewne informacje dotyczące zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych.

Twierdzenie 1.19.

W dowolnej przestrzeni metrycznej mamy
(1) Zbiór skończony jest zwarty.
(2) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.
(3) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
(4) Podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zwarty.
(5) Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem zwartym.

Dowód 1.19. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Niech będzie zbiorem skończonym w i niech będzie pokryciem otwartym zbioru Z definicji pokrycia mamy w szczególności

Zatem Pokazaliśmy zatem, że jest podpokryciem (skończonym) pokrycia zbioru
(Ad (2)) Niech będzie zwartym podzbiorem w Wystarczy pokazać, że jest zbiorem otwartym (patrz twierdzenie 1.10. (6)). W tym celu niech Dla dowolnego niech Wówczas oraz
Rodzina jest pokryciem otwartym zbioru Ponieważ jest zbiorem zwartym, więc możemy z tego pokrycia wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy zatem

Niech Wówczas jest kulą o środku w punkcie taką, że czyli jest punktem wewnętrznym zbioru Pokazaliśmy więc, że zbiór jest otwarty, a zatem zbiór jest domknięty.
(Ad (3)) Niech będzie zwartym podzbiorem w Należy pokazać, że zbiór jest ograniczony. Niech będzie dowolnym punktem. Zauważmy, że

to znaczy rodzina kul jest pokryciem otwartym zbioru Z zwartości zbioru wynika, iż z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Ale ciąg kul jest wstępujący, a więc

zatem zbiór jest ograniczony.
(Ad (4)) Niech będzie domkniętym podzbiorem zbioru zwartego Niech będzie dowolnym pokryciem zbioru Ponieważ jest domknięty, więc jest zbiorem otwartym (patrz twierdzenie 1.10. (6)). Niech będzie nowym indeksem oraz zdefiniujmy Niech Wówczas

zatem jest pokryciem zbioru Ponieważ zbiór jest zwarty, więc można z niego wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy Oczywiście jest to także pokrycie zbioru Jeśli wśród zbiorów znajduje się zbiór to można go usunąć (gdyż ) i nadal będzie to skończone pokrycie zbioru będące podpokryciem pokrycia Pokazaliśmy zatem, że zbiór jest zwarty.
(5) Niech będzie zbiorem zwartym oraz zbiorem domkniętym. Z (1) wiemy, że jest także domknięty, zatem jest zbiorem domkniętym (patrz twierdzenie 1.10. (9)). Ponieważ jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym, co należało dowieść.

End of proof.gif
|
Plik:.mp4
Rysunek do dowodu twierdzenia 1.19
|
Plik:.mp4
Rysunek do dowodu twierdzenia 1.19
Uwaga 1.20.

(1) Z twierdzenia 1.19. wynika w szczególności, że dowolny zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Jako przykład weźmy zbiór nieskończony z metryką dyskretną. Cały zbiór jest domknięty (jako uzupełnienie zbioru otwartego ) oraz ograniczony (ponieważ patrz przykład 1.13.). Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego nie można wybrać pokrycia skończonego (zauważmy, że i usunięcie jakiegokolwiek zbioru z rodziny zbiorów otwartych powoduje, że rodzina ta przestaje być pokryciem ).
(2) Okazuje się jednak, że w przestrzeni euklidesowej twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1, udowodnimy go na następnym wykładzie (patrz wniosek 2.26.).

Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie, jakie przedziały w są zwarte.

Twierdzenie 1.21.

Przedział domknięty i ograniczony () jest zbiorem zwartym.

Rysunek do dowodu twierdzenia 1.21

Dowód 1.21. [nadobowiązkowy]

Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.
Niech będzie dowolnym pokryciem przedziału (gdzie ). Skonstruujemy dwa zbiory (tak zwane przekroje Dedekinda) w następujący sposób:
", wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) lub
(2) oraz przedział jest pokryty skończoną liczbą zbiorów otwartych z rodziny "
Natomiast:
", wtedy i tylko wtedy, gdy "
Oczywiście (bo przedział jest pokryty przez jeden ze zbiorów pokrycia ).
Zdefiniujmy Oczywiście
Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że Z definicji pokrycia wiemy, że

Z definicji zbioru otwartego w metryce euklidesowej w wiemy, że

i

Z kolei z definicji liczby wynika, że

to znaczy przedział jest pokryty skończoną ilością zbiorów z pokrycia powiedzmy

Wówczas

czyli ale to jest sprzeczne z definicją Zatem wykazaliśmy, że

Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że skąd wynika teza naszego twierdzenia.

End of proof.gif

Twierdzenie 1.22.

Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w

Dowód 1.22.

Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte, wskażemy pokrycia otwarte tych przedziałów, z których nie można wybrać podpokryć skończonych. Niech

Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć skończonych, pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

End of proof.gif

Spójność

Ostatnim pojęciem, jakie wprowadzimy na tym wykładzie, jest spójność zbioru w przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie spójność zbioru oznacza, że składa się on z "jednego kawałka". Jednak, aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco bardziej skomplikowanej definicji.

Definicja 1.23. [zbiór spójny]

Niech będzie przestrzenią metryczną
Zbiór nazywamy spójnym, jeśli nie jest zawarty w sumie dwóch zbiorów otwartych, rozłącznych, z którymi ma niepuste przecięcie, to znaczy nie istnieją dwa zbiory i takie, że

Przykład 1.24.

Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny Jeśli dwa zbiory i są otwarte, rozłączne i mają niepuste przecięcie z to nie mogą w sumie zawierać całego (to znaczy ).
Zbiór na kolejnym rysunku nie jest spójny, gdyż istnieją dwa zbiory i spełniające wszystkie cztery warunki z definicji spójności zbioru.

|253x
Plik:.mp4
Zbiór spójny
|253x
Plik:.mp4
Zbiór który nie jest spójny

Twierdzenie 1.25.

Jeśli , to jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.

Suma zbiorów spójnych o niepustym przecięciu

Dowód 1.25. [nadobowiązkowy]

[Szkic]

""
Niech będzie zbiorem spójnym. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest przedziałem, to znaczy

Zdefiniujmy

Wówczas i są zbiorami otwartymi (dlaczego?), i (bo i ), oraz Jest to sprzeczne ze spójnością zbioru

"" (Będziemy korzystali z faktu, że supremum zbioru otwartego w nie jest elementem tego zbioru).
Niech będzie przedziałem. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa niepuste zbiory otwarte i takie, że

oraz

Bez straty ogólności możemy założyć, że
Zdefiniujmy Ponieważ i jest otwarty, więc Gdyby to z faktu, że jest zbiorem otwartym wynikałoby, że nie jest kresem górnym zbioru Zatem
Ponieważ i jest otwarty, więc Gdyby to z faktu, że jest otwarty wynikałoby, że nie jest kresem górnym zbioru Zatem
Pokazaliśmy, że Ale więc doszliśmy do sprzeczności z faktem, że
Pokazaliśmy zatem, że jest zbiorem spójnym.

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie (które podajemy bez dowodu) mówi, że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym, pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.

Twierdzenie 1.26.

Jeśli jest przestrzenią metryczną, jest rodziną podzbiorów spójnych w takich, że to zbiór jest spójny.