Analiza matematyczna 2/Wykład 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wielowymiarowa całka Riemanna

Wykład przedstawia pojęcie całki Riemanna funkcji zmiennych. Definiujemy całkę Riemanna na kostce i na pewnych zbiorach ograniczonych. Wprowadzamy pojęcie zbioru miary zero oraz zbioru mierzalnego w sensie Jordana. Charakteryzujemy funkcje całkowalne w sensie Riemanna.

Definicja i własności całki Riemanna

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię
Plik:AM2.M10.W.R01.svg
Podział kostki na mniejsze kostki takie że


Celem tego wykładu jest zdefiniowanie całki Riemanna z funkcji zmiennych po zbiorze ograniczonym w Zaczynamy od bardzo naturalnego uogólnienia pojęcia całki Riemanna po przedziale w na całkę, po iloczynie kartezjańskim przedziałów (czyli po tak zwanej kostce) w Następnie mówimy, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna po kostkach (to znaczy dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna z tej funkcji po kostce). Okazuje się, że tymi funkcjami są funkcje ograniczone i ciągłe "na prawie całej" kostce. Do precyzyjnego określenia, co to znaczy "na prawie całej", będą nam potrzebne definicje zbioru miary zero i równości prawie wszędzie. Na zakończenie wykładu powiemy, jak zdefiniować całkę Riemanna nie tylko po kostce, ale też po pewnych zbiorach ograniczonych.

Definicja 10.1.

(1) Kostką w będziemy nazywać zbiór czyli iloczyn kartezjański przedziałów
(2) Objętością kostki będziemy nazywać liczbą
(3) Liczbę (czyli długość najdłuższego boku kostki) nazwiemy średnicą kostki

Podzielmy teraz naszą kostkę na mniejsze kostki o wnętrzach rozłącznych i takich, że Oznaczmy ten zbiór kostek przez


Definicja 10.2.

(1) Określony wyżej zbiór nazywamy podziałem kostki
(2) Liczbę nazywamy średnicą podziału

Weźmy teraz ciąg takich podziałów kostki czyli ciąg Niech oznacza średnicę podziału

Definicja 10.3.

Ciąg podziałów nazwiemy ciągiem normalnym, gdy czyli gdy średnice kolejnych podziałów zmierzają do zera.

Weźmy teraz funkcję ograniczoną
Analogicznie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, określamy górną sumę całkową i dolną sumę całkową, a także sumę całkową zależną od punktów pośrednich.

Definicja 10.4.

(1) Dla podziału kostki i funkcji ograniczonej definiujemy

dla
(2) Dolną sumą całkową odpowiadającą podziałowi nazywamy liczbę

(3) Górną sumą całkową odpowiadającą podziałowi nazywamy liczbę

(4) W każdej z kostek wybierzmy dowolny punkt Dostajemy ciąg punktów pośrednich,
Sumą całkową (funkcji dla podziału i punktów pośrednich ) nazywamy liczbę

Funkcja ograniczona określona na kostce w
Podział kostki w oraz punkty pośrednie

Weźmy teraz normalny ciąg podziałów kostki Dla każdego podziału wybierzmy ciągpunktów pośrednich Weźmy sumę całkową Możemy teraz postawić następującą definicję:

Definicja 10.5.

Niech będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna na kostce jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów istnieje granica

i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od wyboru punktów pośrednich.
Powyższą granicę oznaczamy

i nazywamy

całką Riemanna funkcji po kostce
Plik:Am2.m10.w.r04.svg
Objętość prostopadłościanu jest jednym składnikiem w sumie całkowej
Objętość wszystkich prostopadłościanów jest równa sumie całkowej
Uwaga 10.6.

Można wykazać, że funkcja ograniczona jest całkowalna na kostce wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów normalnych mamy

jak również można wykazać, że wtedy istnieją i są równe granice

Uwaga 10.7.

W literaturze można spotkać też zapis my będziemy raczej pisać pamiętając, że zapis oznacza tu a Wyjątek zrobimy natomiast dla tradycyjnego zapisu całki dwóch i trzech zmiennych, zapisując wtedy

lub

Wnioskiem z definicji jest poniższe stwierdzenie o liniowości całki:

Stwierdzenie 10.8.

Niech będzie kostką w a i funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna na Niech będą stałymi rzeczywistymi. Wtedy

Nietrudno też zobaczyć, że prawdziwe jest poniższe stwierdzenie.

Stwierdzenie 10.9.

Niech i będą dwoma kostkami w o rozłącznych wnętrzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy

Oczywiście to stwierdzenie nie jest prawdziwe, gdy nie założymy, że kostki mają wnętrza rozłączne.

Interpretacja geometryczna całki Riemanna

W przypadku gdy kostka jest zwykłym prostokątem w to znaczy , a funkcja jest nieujemna i ciągła (założenie ciągłości nie jest konieczne, wystarczy całkowalność), to

jest objętością bryły w określonej nierównościami:

Plik:Am2.m10.w.r06.svg
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Faktycznie, dla danego podziału prostokąta suma dolna to objętość "słupków" (czyli graniastosłupów) wpisanych w jak na powyższym rysunku.

Przy zmniejszających się średnicach podziałów suma objętości "słupków" (czyli w granicy całka Riemanna z funkcji po zbiorze ) zmierza do objętości

Uwaga 10.10.

Liczenie całki Riemanna wprost z definicji jest raczej niewygodne. Jeśli nawet będziemy wiedzieli, że całka istnieje, to musimy utworzyć ciąg podziałów, policzyć sumy całkowe i ich granicę. Na ćwiczeniach policzymy przykłady całek z wykorzystaniem definicji (patrz ćwiczenie 10.1. i 10.2.), by zobaczyć, że jest to metoda dość pracochłonna i docenić twierdzenie, które poznamy na następnym wykładzie (twierdzenie Fubiniego). Twierdzenie to pozwoli nam liczyć całki wielokrotne przy pomocy całek pojedynczych (które już umiemy liczyć).

Wprowadzimy teraz kilka pojęć, które pomogą nam powiedzieć, jak wygląda klasa funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na kostce w (czyli dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna po kostce).

Plik:AM2.M10.W.R10.mp4
Odcinek jest zawarty w kostce o dowolnie małej objętości


Definicja 10.11.

Niech będą kostkami w ;
Mówimy, że zbiór ma objętość zero, jeśli dla każdego istnieją kostki takie że



oraz




Przykład 10.12.

(1) Punkt w jest zbiorem o objętości zero. Faktycznie, zawsze możemy dobrać układ współrzędnych tak, by punkt miał współrzędne i wtedy zawiera się on w kostce gdzie a zatem

(2) Brzeg kostki w ma objętość zero. Ten fakt udowodnimy na ćwiczeniach.

Plik:AM2.M10.W.R11.svg
Kula w ma dodatnią objętość

Definicja 10.13.

Mówimy, że zbiór ma miarę zero, jeśli dla każdego istnieją kostki takie że



oraz



Uwaga 10.14.

Jeśli zbiór ma miarę zero, to ma puste wnętrze, czyli int

Dowód uwagi 10.14.


Zauważmy, że wprost z definicji wynika, że podzbiór zbioru miary zero jest zbiorem miary zero.


Oczywiście kula w nie jest zbiorem miary zero - bo zawiera pewną kostkę.


Gdyby zbiór miał niepuste wnętrze to, z definicji wnętrza, zawierałby pewną kulę.

End of proof.gif





Popatrzmy teraz na rysunki poniżej.


Plik:AM2.M10.W.R12a.svg
Funkjca ciągła nad odcinkiem
Plik:AM2.M10.W.R12b.svg
Funkcja powstała z funkcji ciągłej przez zmianę wartości w jednym punkcie

Na pierwszym rysunku mamy funkcję ciągłą na przedziale a na drugim rysunku mamy tę samą funkcję, tylko z wartością zmienioną w jednym punkcie - i w tym punkcie funkcja nie jest ciągła. Niemniej, pole pod wykresami obu funkcji jest takie samo - a zatem całka z obu funkcji po przedziale jest taka sama. Podobnie, objętość bryły ograniczonej wykresem funkcji nad prostokątem nie zmieni się, jeśli zmienimy tę funkcję wzdłuż na przykład odcinka - jak na poniższych rysunkach:

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/2/23/Am2.m10.w.r13a.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Funkjca ciągła nad prostokątem


Funkcja ciągła nad prostokątem

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/e/eb/Am2.m10.w.r13b.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Funkcja powstała z funkcji ciągłej przez zmianę wartości wzdłuż odcinka


Funkcja powstała z funkcji ciągłej przez zmianę wartości wzdłuż odcinka


A zatem całki po tym prostokącie z obu funkcji są takie same.

Przypuśćmy więc, że umiemy policzyć całkę po kostce z funkcji ciągłej. Z powyższych przykładów widać, że możemy funkcję ciągłą "zepsuć" na pewnym "niedużym" zbiorze - a całka pozostanie taka sama jak dla funkcji ciągłej. Aby formalnie powiedzieć jak bardzo możemy "zepsuć" funkcję, będziemy potrzebowali poniższych definicji:

Definicja 10.15.

Niech będzie kostką w Weźmy funkcję Mówimy, że funkcja jest ciągła prawie wszędzie na jeśli istnieje zbiór miary zero taki, że jest ciągła na

Definicja 10.16.

Dwie funkcje i określone na kostce równe prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór miary zero, taki, że na Piszemy wtedy: p.w. na

Uwaga 10.17.

Wydawać by się mogło, że jeśli "zepsujemy" funkcję ciągłą tylko na zbiorze miary zero, to dostaniemy funkcję ciągła prawie wszędzie. Tak jednak nie jest! Na ćwiczeniach zobaczymy przykład funkcji, określonej na przedziale która jest różna od funkcji ciągłej tylko na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie (patrz ćwiczenie 10.9.).

Teraz możemy napisać stwierdzenie, które mówi, kiedy całka Riemanna funkcji jest równa całce Riemanna "popsutej" funkcji.

Stwierdzenie 10.18.

Weźmy dwie funkcje i określone na kostce prowadzące w Załóżmy, że obie te funkcje są całkowalne w sensie Riemanna (to znaczy istnieją i ). Załóżmy, że jest równe prawie wszędzie na Wtedy

Dowód 10.18. [nadobowiązkowy]

Zdefiniujmy funkcję Widać, że funkcja też jest całkowalna w sensie Riemanna na i p.w. na Wystarczy zatem pokazać, że (i skorzystać z liniowości całki). Określmy zbiór Ponieważ jest równa zero prawie wszędzie, to zbiór ma miarę zero, a zatem ma puste wnętrze (patrz uwaga 10.14.). W szczególności zbiór nie zawiera żadnej kostki.

Weźmy teraz dowolny podział kostki na kostki

Żadna z tych kostek nie jest podzbiorem zbioru czyli można wybrać punkty pośrednie takie że Dla tych oczywiście W takim razie

a więc także

End of proof.gif

Podamy teraz bez dowodu bardzo ważne twierdzenie, które mówi, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.

Twierdzenie 10.19.

Niech będzie kostką w Niech będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na
Wtedy jest całkowalna w sensie Riemanna na

Na zakończenie tego wykładu powiemy, jak całkować funkcje po zbiorach innych niż kostki (jak na przykład walce, kule etc).

Przypomnijmy, że funkcją charakterystyczną zbioru nazywamy funkcję

Plik:AM2.M10.W.R14b.svg
Wykres funkcji charakterystycznej zbioru

Dla funkcji zdefiniujmy funkcję

Plik:AM2.M10.W.R15a.svg
Zbiór i wykres funkcji
Plik:AM2.M10.W.R15b.svg
Wykres funkcji

Możemy teraz zdefiniować całkę Riemanna z funkcji ograniczonej po zbiorze ograniczonym

Definicja 10.20.

Niech będzie ograniczonym podzbiorem i niech będzie funkcją ograniczoną. Niech będzie kostką w taką, że Wtedy całkę z funkcji po zbiorze definiujemy jako

o ile istnieje.

Pomijamy tu, intuicyjnie dość oczywisty, dowód poprawności definicji - czyli jej niezależności od wyboru kostki w której zawiera się zbiór

Pozostaje jeszcze pytanie, czy możemy powiedzieć, kiedy istnieje całka ? Aby odpowiedzieć na to pytanie, podajmy najpierw następujące fakty:

Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)
Zobacz biografię

Definicja 10.21.

Niech będzie ograniczonym podzbiorem Załóżmy, że brzeg zbioru jest zbiorem miary zero, Zbiór nazywamy wtedy mierzalnym w sensie Jordana (czyli J-mierzalnym) (przypomnijmy, że brzeg zbioru definiujemy jako ; patrz definicja 1.7.).

Bez dowodu podamy poniższe stwierdzenie:

Stwierdzenie 10.22.

Jeśli zbiór ograniczony zawarty w pewnej kostce jest J-mierzalny, to istnieje

Definicja 10.23.

Dla J-mierzalnego zbioru ograniczonego zawartego w kostce objętością nazywamy liczbę

Definicja 10.24.

Gdy nazywamy długością a dla nazywamy polem

Możemy teraz podać następujące twierdzenie.

Twierdzenie 10.25.

Niech będzie J-mierzalnym, ograniczonym podzbiorem Niech będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na
Wtedy jest całkowalna w sensie Riemanna na

Uwaga 10.26.

W praktyce najczęściej mamy do czynienia z całkowaniem funkcji ciągłych i określonych na "przyzwoitych" zbiorach, to znaczy zbiorach ograniczonych kawałkami wykresów funkcji, i to funkcji klasy co najmniej Takimi zbiorami są na przykład kula, walec, kostka, stożek i ich przecięcia. Przedstawione w tym wykładzie rozważania dotyczące całkowalności i zbiorów miary zero należy potraktować jako rodzaj wstępu do teorii miary i do ogólniejszych teorii całek, na przykład do teorii całki Lebesgue'a.