Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Norma. Iloczyn skalarny

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówność Schwarza, warunek równoległoboku i twierdzenie Pitagorasa.

Przestrzenie unormowane

Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny ), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej to możemy także mierzyć odległość między punktami zbioru

Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych.

Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej będziemy oznaczać przez ).

Definicja 3.1.

Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem ( lub ).
Odwzorowanie nazywamy normą w jeśli:
(1) ;
(2) (jednorodność);
(3) (subaddytywność).
Parę nazywamy przestrzenią unormowaną.

Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1) długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy;
(2) długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3) długość sumy wektorów jest nie większa od sumy ich długości.

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Przykład 3.2.

W przestrzeni wektorowej nad możemy wprowadzić następujące normy:
(norma euklidesowa),
(norma taksówkowa),
(normamaksimowa).
Dowód faktu, że powyższe odwzorowania są normami, pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 3.1.). Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe (patrz uwaga 3.4.).

Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną. Mówi o tym następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3.

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest funkcją zadaną przez to jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że jest metryką zadaną przez normę

Dowód 3.3.

Załóżmy, że jest normą w Pokażemy, że odwzorowanie zadane przez jest metryką w
(1) Zauważmy, że dla dowolnych :

oraz

(2) Dla dowolnych mamy

(3) Dla dowolnych mamy

a więc zachodzi warunek trójkąta dla

Pokazaliśmy zatem, że jest metryką.

End of proof.gif
Uwaga 3.4.

(1) Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje metrykę.
(2) Nie każda metryka jest zadana przez normę (patrz wniosek 3.13.).
(3) Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy zbieżnością silną lub zbieżnością w normie, to znaczy jeśli jest ciągiem, to

(4) Normy: euklidesowa, taksówkowa, maksimowa, zdefiniowane w przykładzie 3.2., zadają odpowiednio metryki: euklidesową, taksówkową, maksimową (patrz ćwiczenie 3.2.).

W przypadku norm można rozważać ich równoważność.

Definicja 3.5.

Dwie normy i w przestrzeni unormowanej nazywamy równoważnymi, jeśli

Równoważność norm ma następujące własności.

Uwaga 3.6.

(1) Relacja równoważności norm jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej przestrzeni unormowanej.
(2) Normy: euklidesowa ; maksimowa taksówkowa są równoważne (będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz ćwiczenie 3.3.). Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne.

Twierdzenie 3.7.

Twierdzenie to podajemy tu bez dowodu. Wszystkie normy w są równoważne.

Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni rozważamy metrykę zadaną przez normę, a w metrykę euklidesową).

Twierdzenie 3.8.

Wszystkie normy w są równoważne.

Twierdzenie 3.9. [ciągłość normy]

Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.

Lemat 3.9.

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, to

Dowód 3.9.

Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych mamy

czyli

Analogicznie pokazujemy, że

Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.

End of proof.gif

Dowód 3.8.

Warunek oznacza, że

Ustalmy dowolne Z powyższej równości wynika, że

Zatem dla mamy

Zatem pokazaliśmy, że

End of proof.gif
Uwaga 3.10.

(1) Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzenieu 3.7. nie jest prawdziwa.
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg zadany przez Wówczas

ale sam ciąg nie jest silnie zbieżny (dlaczego?)
(2) Jeżeli granicą ciągu jest (wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej), to implikację w twierdzenieu 3.7. można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:

(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).

W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.

Definicja 3.11.

Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz
(1) Jeśli to odcinkiem w łączącym punkty i nazywamy zbiór

(2) Mówimy, że zbiór jest wypukły, jeśli

Odcinek w
Odcinek w
Zbiór wypukły
Plik:AM2.M03.W.R04.svg
Zbiór, który nie jest wypukły

W szczególnych przestrzeniach metrycznych, jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.

Twierdzenie 3.12.

Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.

Wypukłość kuli w metryce eukildesowej
Wypukłość kuli w metryce taksówkowej
Wypukłość kuli w metryce maksimowej

Dowód 3.12.

Niech oraz Pokażemy, że kula jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne Z definicji kuli wynika, że

Niech Należy pokazać, że Z definicji odcinka w wiemy, że

Zatem

Zatem pokazaliśmy, że Dowód, że jest zbiorem wypukłym, jest analogiczny.

End of proof.gif

Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to, aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.

Wniosek 3.13.

Metryka kolejowa i metryka rzeka w nie są zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach nie są zbiorami wypukłymi (patrz przykład 1.5. oraz przykład 1.6.).

Plik:AM2.M03.W.R08.svg
Kula w metryce rzece nie jest wypukła
Plik:AM2.M03.W.R09.svg
Kula w metryce kolejowej nie jest wypukła


Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz definicja 2.10.). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

Definicja 3.13. [przestrzeń Banacha]

Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.

Przykład 3.14.

(1) jest przestrzenią Banacha (patrz wniosek 2.21.).
(2) Przestrzeń z normą jest przestrzenią Banacha (patrz ćwiczenie 3.5.).

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.

Definicja 3.15.

Niech będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Odwzorowanie nazywamy iloczynem skalarnym w jeśli:
(1) i
(2)
(3)
(4) (symetria).
Parę nazywamy przestrzenią unitarną.

Uwaga 3.16.

(a) Warunki (2) i (3) mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4), iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą zmienną, zatem jest on dwuliniowy.

Przykład 3.17

Odwzorowanie zdefiniowane przez

dla

jest iloczynem skalarnym w Nazywamy go standardowym iloczynem skalarnym w . Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni i .

Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
(1) Dla dowolnego mamy

oraz

(2) Dla dowolnych oraz mamy

(3) Dla dowolnych mamy

(4) Dla dowolnych mamy

Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie jest iloczynem skalarnym w .

Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.

Twierdzenie 3.18.

Jeśli jest przestrzenią unitarną oraz to jest normą w
Mówimy, że jest normą zadaną przez iloczyn skalarny

W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.

Lemat 3.19. [nierówność Schwarza]

Jeśli jest przestrzenią unitarną, to

Dowód 3.20.

Ustalmy dowolne Jeśli to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że Niech Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego, mamy:

Zatem mamy

skąd

a zatem

co należało dowieść.

End of proof.gif
Uwaga 3.21.

Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz lemat 3.8.) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w przestrzeni mamy standardowy iloczyn skalarny.

Dowód 3.21.

(1)

a więc pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)

zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3) Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

a więc

zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.

End of proof.gif

Przykład 3.22.

Iloczyn skalarny w dany wzorem (patrz przykład 3.17.)

dla

zadaje normę euklidesową, bo

Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne zupełne.

David Hilbert (1862-1943)
Zobacz biografię

Definicja 3.23.

Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.

Twierdzenie 3.24. [ciągłość iloczynu skalarnego]

Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy

(oczywiście zbieżność oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn skalarny ).

Dowód 3.24. [dowód nadobowiązkowy]

Niech będzie ciągiem takim, że i Oznacza to, że

oraz z ciągłości normy (patrz twierdzenie 3.7.), mamy

Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Z wyżej wskazanych zbieżności w wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy Oznacza to, że co należało dowieść.

End of proof.gif

W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.

Wektory prostopadłe w
Wektory prostopadłe w

Definicja 3.25.

Niech będzie przestrzenią unitarną.
(1) Jeśli to mówimy, że wektory i ortogonalne (lub prostopadłe) i piszemy

(2) Niech będzie podprzestrzenią wektorową Mówimy, że wektor jest ortogonalny (prostopadły, normalny) do podprzestrzeni jeśli



Piszemy

(3) Mówimy, że wektory tworzą układ ortogonalny, jeśli



(4) Mówimy, że wektory tworzą układ ortonormalny, jeśli



(to znaczy wektory są parami ortogonalne oraz mają normę ).


Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.

Plik:AM2.M03.W.R13.svg
Suma i różnica wektorów w (ilustracja do warunku równoległoboku)
Suma wektorów prostopadłych (ilustacja twierdzenia Pitagorasa)

Twierdzenie 3.26.

Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).

Przykład 3.27.

Baza kanoniczna w jest bazą ortonormalną.

Twierdzenie 3.28. [warunek równoległoboku]

Jeśli jest przestrzenią unitarną oraz jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to



Dowód 3.28.

Dla dowolnych ustalonych liczymy



oraz



Dodając stronami powyższe równości, dostajemy tezę twierdzenia.

End of proof.gif
Pitagoras (VI w. p.n.e.)
Zobacz biografię

Twierdzenie 3.29. [Twierdzenie Pitagorasa]

Jeśli jest przestrzenią unitarną oraz jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to



Dowód 3.29.

Dla dowolnych ustalonych liczymy



co należało dowieść.
Zauważmy, że gdy to implikacja w prawą stronę w powyższym twierdzeniu , to znane ze szkoły twierdzenie Pitagorasa. Implikację , znamy ze szkoły, jako twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

End of proof.gif