Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych

Ćwiczenie 9.1.

W otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie określona funkcja

a) rozwikłująca równanie (

b) rozwikłująca równanie

c) rozwikłująca równanie

d) rozwikłująca równanie ?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.2.

Zapisać poniższe równania we współrzędnych biegunowych. W otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie określona funkcja rozwikłująca równanie

a)

b)

c) ?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.3.

a) Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji w punkcie , jeśli i funkcja jest uwikłana równaniem .

b) Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji w punkcie , jeśli i funkcja jest uwikłana równaniem .

c) Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji w punkcie , jeśli i funkcja jest uwikłana równaniem .

d) Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji w punkcie , jeśli i funkcja jest uwikłana równaniem .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.4.

a) Rozważamy funkcje i określone układem równań

i takie, że . Obliczyć pochodne i .

b) Rozważamy funkcje i są uwikłane układem równań

i takie, że i . Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tych funkcji w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.5.

Rozważamy funkcję uwikłaną równaniem i taką, że . Rozwinąć ją w szereg Taylora w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.6.

Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej

a) określonej równaniem

b) określonej równaniem

c) określonej równaniem

d) określonej równaniem

e) określonej równaniem

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.7.

Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a) pod warunkiem

b) pod warunkiem

c) pod warunkiem

d) pod warunkiem

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.8.

Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a) pod warunkiem

b) pod warunkiem

c) pod warunkiem .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.9.

Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a) pod warunkami i

b) pod warunkami i .

Wskazówka
Rozwiązanie