Analiza matematyczna 2/Wykład 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

W tym wykładzie prezentujemy twierdzenie Fubiniego (z dowodem tylko dla kostki w ) oraz twierdzenie o zmianie zmiennych w całce. Podajemy przykłady zmiany zmiennych w na współrzędne biegunowe oraz w na współrzędne walcowe i sferyczne.

Twierdzenie Fubiniego

Ten wykład poświęcony jest dwóm najważniejszym twierdzeniom dotyczącym całek wielokrotnych. Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całki wielokrotne (podwójne, potrójne, itd.) po odpowiednich obszarach za pomocą kolejnego liczenia pewnych całek pojedynczych w odpowiednich granicach. Drugim z twierdzeń jest twierdzenie o zmianie zmiennych w całce, odpowiednik twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całki jednej zmiennej, także bardzo ważne dla obliczania całek.

Na ćwiczeniach do poprzedniego wykładu policzyliśmy z definicji gdzie

Policzmy teraz traktując jako stałą. Dostaniemy oczywiście

Następnie policzmy czyli całkę "z tego" co otrzymaliśmy wyżej. Dostaniemy

Policzyliśmy zatem

Jeśli policzymy "w drugą stronę", czyli najpierw całkę względem a potem względem to dostaniemy

następnie

zatem także

Otrzymaliśmy zatem następujące równości:

W takim razie możemy zapytać: czy może takie równości zachodzą zawsze? Okazuje się, że (przy rozsądnych założeniach) faktycznie tak jest - mówi o tym Twierdzenie Fubiniego.

Twierdzenie 11.1. [Twierdzenie Fubiniego]

Niech będzie kostką w a kostką w Zmienne w oznaczmy przez a w przez Weźmy funkcję Załóżmy, że dla każdego ustalonego funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna na oraz że dla każdego ustalonego funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna na Wtedy

Rysunek do twierdzenia Fubiniego
Uwaga 11.2.

(1) W szczególności, gdy funkcja jest ciągła na to obie funkcje i są całkowalne i zachodzą powyższe równości, czyli

(2) Nietrudno zauważyć, że w twierdzeniu Fubiniego zamiast kostek i możemy wziąć dowolne zbiory J-mierzalne - bo i tak całkowanie po dowolnych zbiorach J-mierzalnych sprowadziliśmy do całkowania po kostkach (patrz poprzedni wykład).
(3) Całki i nazywamy całkami iterowanymi.

Dowód 11.2.

Dowód twierdzenia Fubiniego przedstawimy tylko dla przypadku, gdy i są kostkami w (czyli jest kostką (prostokątem) w W tym przypadku twierdzenie i dowód łatwo zilustrować rysunkiem (patrz obok). Idea dowodu dla kostek wyżej wymiarowych jest dokładnie taka sama. Dla dodatkowego uproszczenia dowodu założymy, że funkcja jest ciągła. A zatem wypiszmy:

End of proof.gif

Twierdzenie 11.3. [Twierdzenie Fubiniego dla funkcji ciągłej na prostokącie]

Niech będzie kostką w Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją całki iterowane i oraz zachodzą równości

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Dowód 11.3. [nadobowiązkowy]

Wykażemy istnienie całki i równość

Istnienia drugiej z całek iterowanych i drugiej równości dowodzi się analogicznie. Niech oznacza metrykę euklidesową w czyli

Krok I. Istnienie całki
I.1. Zauważmy, że dla dowolnego istnieje takie, że

dla z kostki Faktycznie, skoro funkcja jest ciągła, a zbiór jest zwarty, to funkcja jest jednostajnie ciągła (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 2.39). To dokładnie oznacza, że spełniona jest powyższa implikacja.
I.2. Wykażemy, że funkcja

jest funkcją ciągłą.

Ponieważ jest funkcją ciągłą, istnieje dla dowolnego Aby wykazać, że jest funkcją ciągłą, weźmy dowolne Szukamy takiego, że spełnione jest wynikanie:

Weźmy teraz Do tego dobierzmy tak jak w punkcie I.1. Mamy zatem w szczególności:

czyli, podstawiając do wzoru na otrzymujemy

Całkując te nierówności stronami (korzystamy z monotoniczności całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej), otrzymujemy:

czyli

zatem

przy co dowodzi ciągłości funkcji
I.3. Zauważmy, że skoro jest funkcją ciągłą na to istnieje a to dowodzi istnienia całki

Krok II. Równość
II.1. Z części I dowodu i z założeń twierdzenia wynika, że całki po obu stronach równości istnieją. Wystarczy zatem znaleźć granicę sum całkowych dla pewnego normalnego ciągu podziałów.
II.2. Zdefiniujmy normalny ciąg podziałów , dzieląc każdy z odcinków i na równych odcinków, czyli:

a następnie biorąc iloczyn kartezjański tych odcinków:

Kostkami podziału są więc kostki Objętość takiej kostki to
II.3. Weźmy teraz dla każdego podziału ciąg punktów pośrednich, czyli

Utwórzmy sumę całkową:

Skoro istnieje całka podwójna, to

Wystarczy zatem pokazać, że granicą ciągu jest też
II.4. Pokażemy, że

Musimy zatem pokazać, że dla ustalonego istnieje takie, że dla mamy

Ustalmy zatem Weźmy Do tego dobierzmy tak jak w punkcie I.1. dowodu. Dobierzmy takie, by W takim razie, jeśli dla mamy to a zatem (z I.1.),

czyli

Całkując te nierówności względem po przedziale dostaniemy (dla ustalonego ):

czyli

Weźmy teraz sumę powyższych nierówności dla (i dla ). Dostaniemy:

Tak więc

Całkując tę nierówność po przedziałach a następnie sumując wszystkie całki dla dostaniemy

a zatem, po zsumowaniu

co należało dowieść.

End of proof.gif
Uwaga 11.4. [Zapis całek iterowanych]

Całki iterowane, na przykład będziemy, w celu uniknięcia pisania dużej ilości nawiasów, zapisywali tak:

podobnie, zamiast napiszemy

Przykład 11.5.

Policzyć całkę

gdzie

Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twierdzenie Fubiniego. Otrzymamy


<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/b/bd/Am2.m11.w.r02.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Am2.m11.w.r02


Najczęściej spotykanymi obszarami, po których będziemy chcieli całkować, nie są jednak kostki, tylko tak zwane zbiory normalne. Zdefiniujmy:

Definicja 11.6.

(1) Niech będzie odcinkiem w niech i będą funkcjami ciągłymi na takimi, że Wtedy zbiór

nazywamy zbiorem normalnym względem osi
(2) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi
(3) Zbiór zawarty w jest normalny względem współrzędnej jeśli istnieje pewien zbiór normalny zawarty w płaszczyźnie oraz istnieją dwie funkcje takie, że oraz

(4) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współrzędnych.
(5) Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem jakiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który można podzielić na sumę zbiorów regularnych o rozłącznych wnętrzach.


Zbiór normalny względem osi
Zbiór normalny względem osi
Zbiór regularny, który nie jest zbiorem normalnym

Definicje normalności i regularności można oczywiście uogólnić na więcej wymiarów, ale nie będziemy tego robić.

Jak już wspomnieliśmy, w praktyce najczęściej będziemy chcieli całkować funkcje po zbiorach normalnych. Wypiszmy więc, jak w przypadku takich zbiorów wygląda twierdzenie Fubiniego.

Niech zatem będzie zbiorem normalnym w zadanym jako



gdzie są jak w definicji. Niech będzie zbiorem normalnym w danym jako



gdzie są jak w definicji. Mamy:

Twierdzenie 11.7. [Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w i )]

(1) Jeśli jest funkcją ciągłą, to



(2) Jeśli jest funkcją ciągłą, to

Dowód tej wersji Twierdzenia Fubiniego można dostać jako wniosek z ogólnej wersji twierdzenia (dowodząc, że zbiory regularne są J-mierzalne) albo można udowodnić to twierdzenie bezpośrednio, nieco modyfikując dowód twierdzenia 11.3.

Możemy teraz policzyć następującą całkę.

Trójkąt

Przykład 11.8.

Policzyć całkę

gdzie jest trójkątem ograniczonym prostymi:

Zauważmy, że zbiór jest normalny względem osi Ponieważ jednak funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji ( oraz ), to wygodniej będzie podzielić na dwa zbiory normalne (o rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt ograniczony prostymi: a drugi to trójkąt ograniczony prostymi: jest więc zbiorem regularnym. Z twierdzenia Fubiniego mamy:


<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/d/d6/Am2.m11.w.r07.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.1">
   <param name="shading" value="0.2">
   <param name="animation" value="stop">

</applet>

<div.thumbcaption>Wykres funkcji nad


Twierdzenie o zmianie zmiennych

Jeszcze jedno twierdzenie bardzo nam się przyda do liczenia całek wielowymiarowych. Jest to uogólnienie na więcej wymiarów znanego już z teorii całki jednej zmiennej twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie. W przypadku wielowymiarowym nosi ono nazwę twierdzenia o zmianie zmiennych.

Załóżmy, że mamy zbiory J-mierzalne i w oraz odwzorowanie które jest -dyfeomorfizmem (to znaczy, że jest bijekcją klasy i odwzorowanie odwrotne do też jest tej klasy). Dla odwzorowania możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych (w punkcie ):

Jac

Wyznacznik tej macierzy (w punkcie ) nazywamy jakobianem w punkcie . Gdy jest dyfeomorfizmem, to Jac .

Współrzędne w zbiorze oznaczmy przez

Twierdzenie o zmianie zmiennych brzmi następująco.

Twierdzenie 11.9. [Twierdzenie o zmianie zmiennych]

Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej, niech będzie funkcją ciągłą. Wtedy

Jac
Uwaga 11.10.

Zauważmy, że dla dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:

Dowód twierdzenia 11.9. pomijamy. Przedstawimy natomiast kilka użytecznych przykładów.

Uwaga 11.11.

W powyższym twierdzeniu nie trzeba zakładać, że odwzorowanie jest dyfeomorfizmem na całym zbiorze wystarczy założyć, że istnieje podzbiór taki, że oraz jest dyfeomorfizmem.

Zmiana zmiennych na dwuwymiarowe współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe

Niech zbiorem będzie Określamy odwzorowanie prowadzące ze zbioru następująco:

gdzie najczęściej zapisujemy jako


Tak więc a zatem jest odległością punktu od początku układu współrzędnych. Kąt jest kątem, jaki tworzy wektor o początku w i końcu w z dodatnią częścią osi

Licząc jakobian tej zmiany zmiennych dostajemy Jac (trzeba policzyć pochodne cząstkowe i po i a następnie wyznacznik macierzy Jacobiego). Tak więc tu jakobian jest zawsze dodatni.

Tę zmianę zmiennych stosujemy najczęściej, gdy obszarem całkowania (zbiorem ) jest koło, pierścień lub ich wycinek. Jak wtedy wygląda zbiór obrazują przykłady poniżej.

W dalszych rozważaniach najczęściej nie będziemy rozróżniać pomiędzy i (lub i ) gdzie () i, choć nie jest to w pełni poprawne, będziemy pisać o zmianie zmiennych z do a nie z do ignorując fakt, że zmiana zmiennych może nie być dyfeomorfizmem na jakimś zbiorze miary zero.

Przykład 11.12.

Policzyć całkę

gdzie jest kołem o promieniu i środku w punkcie zatem

Skoro to promień zmienia się w przedziale a kąt zmienia się w całym zakresie

Tak więc czyli mamy

gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie

zmiennych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.

Przykład 11.13.

Policzyć całkę

gdzie jest ćwiartką koła o promieniu i środku w punkcie leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.

Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem zmienia się także od do natomiast zmienia się od do . Tak więc


Zbiór
Zbiór

Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne sferyczne

Współrzędne sferyczne

Podobnie do współrzędnych biegunowych w definiujemy współrzędne sferyczne w Mamy:

gdzie

Teraz jest odległością punktu od początku układu współrzędnych, jest kątem, jaki tworzy wektor z dodatnią częścią osi a jest kątem, jaki tworzy wektor z dodatnią częścią osi

Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi , a zatem jest dodatni, bo

Przykład 11.14.

Policz całkę

gdzie jest górną połową kuli o środku w i promieniu

Kula opisana jest nierównością w takim razie zmienia się w przedziale Górną połowę kuli zadaje nierówność zatem musi być czyli a zatem Na nie mamy żadnych dodatkowych warunków, więc Zatem Tak więc

Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne walcowe

AM2.M11.W.R12

Ta zmiana zmiennych jest w zasadzie zmianą na współrzędne biegunowe w Opisana jest wzorami:

gdzie Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi

Przykład 11.15.

Policzyć całkę

gdzie jest walcem o podstawie i o wysokości

Skoro to na kąt nie mamy dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi to Tak więc

Ciekawsze przykłady policzymy na ćwiczeniach.