Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe

Przypominamy przykłady funkcji wielu zmiennych, które znamy z życia codziennego. Do badania przebiegu zmienności funkcji, badania ciągłości, wyznaczania ekstremów stosujemy analizę przebiegu poziomic, a następnie wprowadzamy pochodne kierunkowe i cząstkowe.

Przykłady funkcji wielu zmiennych

Prognoza pogody
Prognoza pogody

Z funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych spotykamy się na co dzień. Śledząc prognozę pogody po wieczornym wydaniu wiadomości w telewizji (w prasie, w internecie) sprawdzamy, jaka temperatura jest przewidywana na najbliższą noc, na kolejny poranek, popołudnie, w dniach następnych. Temperatura podawana jest przeważnie liczbowo dla kilku regionów naszego kraju albo też - w dokładniejszej formie - na mapie z zaznaczonymi izotermami, tj. liniami, które łączą punkty o takiej samej temperaturze.

Osoby podatne na zmiany ciśnienia atmosferycznego z niepokojem śledzą informacje o spodziewanym załamaniu pogody i wahaniach ciśnienia. Przypomnijmy, że linie łączące punkty o takim samym ciśnieniu atmosferycznym nazywamy izobarami.

Zagęszczenie izobar nad danym obszarem oznacza dużą prędkość wiatru w terenie: im izobary są gęstsze, tym prędkość wiatru większa. Pamiętamy, że wiatr wieje od obszaru o wyższym ciśnieniu do obszaru o niższym ciśnieniu.

Kierunek wiatru także nie jest przypadkowy: odpowiada temu kierunkowi, w którym ciśnienie spada najszybciej, co na mapie odpowiada kierunkowi, w którym izobary najbardziej zagęszczają się.

Ze względu na czytelność map z prognozą pogody, obszary zawarte między kolejnymi poziomicami koloruje się zgodnie z umową tak, że obszary, nad którymi panuje niskie ciśnienie, bądź niska temparatura, oznacza się kolorem fioletowym, ciemno niebieskim, niebieskim. Kolory jasno zielony, zielony, jasno żółty, rezerwuje się do oznaczania obszarów o przeciętnym ciśnieniu czy temperaturze, natomiast obszary o najwyższych wartościach koloruje się na żółto, pomarańczowo, czerwono. Do umowy tej przywykliśmy. Tak bowiem pokolorowana jest mapa fizyczna (mapa hipsometryczna), np. ta przedstawiająca nasz kraj.

Prognoza pogody
Prognoza pogody
Mapa hipsometryczna

Gdybyśmy powędrowali palcem po mapie z południa na północ Polski, zaczynając od Tatr, które po polskiej stronie sięgają prawie 2500 metrów nad poziom morza, wystartowalibyśmy z obszaru pokolorowanego na brązowo, intensywnie czerwono, pomarańczowo. Kierując się do Krakowa i dalej Wyżyną Krakowsko-Częstochowską, przemierzalibyśmy obszar pokolorowany na żółto. Obszar nizinny w centralnej i północnej części naszego kraju zaznaczono na zielono, z wyjątkiem pasm wzgórz na północy, np. na Kaszubach, które zaznaczono na żółto. Jeśli spojrzymy trochę na prawo od ujścia Wisły, między Tczewem a Elblągiem, zauważymy obszar ciemnozielony, którym pokolorowano obszar depresji, tj. obszar położony poniżej poziomu morza. W końcu docieramy do brzegu Bałtyku, którego poziom stanowi umowny punkt odniesienia wysokości obszaru nad poziom morza. Pamiętamy, że głębokość dna morza na mapie również została zaznaczona różnymi kolorami: od białego (którym zaznaczono płytkie obszary tuż przy brzegu i mielizny), przez niebieski, aż po ciemnoniebieski, którym zaznaczono głębsze obszary.

Wycinek mapy Tatr
Wycinek mapy Tatr

Linie na mapie, łączące punkty o samej wysokości nad poziom morza, nazywamy poziomicami.

Wędrując po górach, w zależności od upodobania, wybieramy szlak, który krótszą, ale bardziej stromą drogą doprowadzi nas do celu, bądź też szlak mniej stromy, łagodny. Każdy, kto wędrował choć raz po górach z mapą w ręku wie, że im gęściej szlak poprzecinany jest kolejnymi poziomicami, tym jest bardziej stromy i wymaga większego wysiłku fizycznego. Szlak, który przebiega między dwiema poziomicami, prawie żadnej nie przecina, jest zdecydowanie łagodniejszy, bez stromych podejść, nie wymaga wysiłku.

Na ogół szlaki turystyczne w górach omijają obszary, gdzie poziomice przebiegają bardzo gęsto, bądź wręcz urywają się. Nic dziwnego: tak na mapie zaznaczono strome zbocza i urwiska.

Zauważmy, że poziomice odpowiadające różnym wysokościom są krzywymi rozłącznymi. Na mapie, która przeważnie przedstawia pewien prostokątny (w przybliżeniu) obszar terenu, krzywe te są zamknięte lub nie. Nasze doświadczenie podpowiada nam, że wewnątrz obszaru ograniczonego poziomicą, która jest linią zamkniętą, zawsze da się wskazać punkt położony najwyżej (np. szczyt wzniesienia) lub najniżej (np. dno doliny).

W ramach Analizy matematycznej I poznaliśmy twierdzenie, które opisuje taką sytuację: funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. Jest to twierdzenie Weierstrassa, które pozostaje prawdziwe nie tylko w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Mapa fizyczna danego obszaru, mapa rozkładu ciśnienia, mapa rozkładu temperatury to przykłady graficznej reprezentacji (wykresu) funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych (długości i szerokości geograficznej) o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, bowiem wysokość punktu nad poziom morza, wartość ciśnienia atmosferycznego, temperatura to wielkości liczbowe.

Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych

Większość pojęć i twierdzeń, którymi będziemy posługiwać się w tym module, poznaliśmy już przy okazji omawiania własności funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych. Przypomnijmy parę z nich.

Niech , będą przestrzeniami metrycznymi.

Będziemy zajmowali się badaniem funkcji

Większość praktycznych przykładów zastosowania teorii będzie dotyczyć funkcji określonych na zbiorze , , z metryką zadaną przez pewną ustaloną normę w , np.

Zbiorem wartości funkcji najczęściej będzie zbiór liczb rzeczywistych z metryką zadaną przez wartość bezwzględną, tj. .

Definicja 6.1.

Mówimy, że jest granicą funkcji w punkcie będącym punktem skupienia dziedziny funkcji , jeśli

Definicja 6.2.

Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie x, jeśli

Pamiętamy również, że zachodzi następujące

Twierdzenie 6.3.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi i niech będzie funkcją. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1) funkcja jest ciągła w punkcie ,

2) istnieje granica i jest równa wartości funkcji .

Niech , , będą przestrzeniami metrycznymi.

Twierdzenie 6.4.

Złożenie funkcji ciągłych i jest funkcją ciągłą.

Twierdzenie 6.5.

Jeśli oraz są funkcjami ciągłymi, to suma oraz iloczyn są funkcjami ciągłymi. Ponadto odwrotność oraz iloraz

są funkcjami ciągłymi na zbiorze .

Przypomnijmy jeszcze następujące twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym.

Twierdzenie 6.6.

Jeśli jest funkcją ciągłą określoną na przestrzeni zwartej , to istnieją punkty , w których funkcja osiąga kresy: kres dolny i kres górny .

Rozważmy przykład, który pokazuje, że zachowanie funkcji wielu zmiennych może wykraczać poza naszą intuicję ukształtowaną podczas badania funkcji jednej zmiennej.

Przykład 6.7.

Funkcja określona jest we wszystkich punktach płaszczyzny z wyjątkiem punktu . Wyraźmy ją we współrzędnych biegunowych

W punktach leżących poza początkiem układu współrzędnych, tj. gdy , otrzymamy:

Zauważmy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział . Ponadto funkcja nie zależy od zmiennej . Oznacza to, że zacieśnienie funkcji do którejkolwiek półprostej danej równaniem (tj. półprostej, która tworzy z dodatnią półosią osi rzędnych ustalony kąt ) jest funkcją o stałej wartości , niezależnej od odległości punktu od początku układu współrzędnych. Każde z tych zacieśnień do prostej ma granicę przy równą . Jednak wartość ta zależy od wyboru kąta , stąd nie istnieje granica funkcji , gdy . Zauważmy, że gdy rozważymy osobno funkcje jednej zmiennej, ustalając drugą zmienną, tzn. lub odpowiednio :

to zarówno , jak też , a więc w szczególności istnieją granice iterowane

i są równe.


<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/7/74/Am2m05.0080.mgs.zip">
  <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Wykres funkcji


Przykład pokazuje więc, że

Wniosek 6.8.

Z istnienia granic iterowanych

i równości tych granic nie wynika istnienie granicy funkcji w punkcie .

Prawdziwa natomiast jest implikacja:

Uwaga 6.9.

Jeśli funkcja ma granicę w punkcie , to istnieją obie granice iterowane

i są równe granicy funkcji w punkcie .

Uwaga ta stanowi warunek konieczny istnienia granicy . Jeśli bowiem nie istnieje któraś z granic iterowanych, bądź nie są one równe, to funkcja nie ma granicy w punkcie . Podkreślmy jeszcze raz fakt, że istnienie i równość obu granic iterowanych nie gwarantuje istnienia granicy funkcji.

Poziomice

Niech będzie funkcją określoną na przestrzeni metrycznej o wartościach rzeczywistych.

Definicja 6.10.

Poziomicą funkcji

odpowiadającą wartości nazywamy zbiór
czyli przeciwobraz zbioru jednopunktowego przez funkcję .

Często pobieżna nawet analiza przebiegu poziomic pozwala ustalić, czy dana funkcja osiąga ekstrema (zob. definicja ekstremum w module 9 Analizy matematycznej 1), czy też nie.

Przykład 6.11.

Niech .
Wykres.gif wykres
Poziomica jest okręgiem o środku w punkcie i promieniu , gdy . Poziomica składa się tylko z jednego punktu , natomiast jeśli , to poziomica jest zbiorem pustym. Funkcja osiąga minimum globalne w punkcie równe .

Przykład 6.12.

Niech .
Wykres.gif wykres

Poziomica zerowa jest sumą dwóch prostych: i . Jeśli poziomica jest hiperbolą o asymptotach i . Przebieg poziomic pozwala ustalić, że funkcja w żadnym punkcie płaszczyzny nie osiąga ekstremum, bowiem w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu potrafimy z łatwością wskazać punkty, w których funkcja przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od wartości funkcji w punkcie .

Przykład 6.13.

Niech .
Wykres.gif wykres
Funkcja jest normą w , przyjmuje więc wyłącznie wartości nieujemne, stąd , gdy . Poziomica zerowa składa się tylko z jednego punktu. Gdy , poziomica jest kwadratem o wierzchołkach , , , . Funkcja osiąga minimum globalne w punkcie , gdyż w dowolnym punkcie . Podobnie jak w poprzednim przykładzie przebieg poziomic pozwala ustalić, że funkcja w żadnym punkcie płaszczyzny poza punktem nie osiąga ekstremum, bowiem w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu potrafimy z łatwością wskazać punkty, w których funkcja przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od wartości funkcji w punkcie .

Przykład 6.14.

Niech .
Wykres.gif wykres
Funkcja przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, stąd , gdy . Poziomica zerowa składa się tylko z jednego punktu. Gdy , poziomica jest krzywą zawartą w kwadracie o wierzchołkach , , , . Krzywą tę nazywamy asteroidą. Zauważmy, że funkcja osiąga minimum globalne w punkcie , gdyż , w dowolnym punkcie . Podobnie jak w poprzednich przykładach przebieg poziomic pozwala stwierdzić, że jest to jedyne ekstremum tej funkcji na płaszczyźnie .

Przykład 6.15.

Niech .
Poziomicą zerową tej funkcji jest suma trzech prostych: , oraz . Zauważmy, że w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu leżącego na tej poziomicy znajdziemy punkty, w których funkcja osiąga zarówno wartości mniejsze jak i większe od zera. Stąd w żadnym punkcie zbioru funkcja nie osiąga ekstremum. Zwróćmy jednak uwagę, że wnętrze trójkąta o wierzchołkach , , zawarte jest w zbiorze tych punktów, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne. W sumie mnogościowej z brzegiem trójkąta o podanych wierzchołkach zbiór ten jest zwarty. Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że we wnętrzu tego trójkąta funkcja osiąga minimum. Dalsza analiza przebiegu poziomic we wnętrzu trójkąta nie jest efektywnym narzędziem prowadzącym do precyzyjne określenia, w którym punkcie minimum to jest osiągane, ponieważ kreślenie poziomic , gdy , nie jest prostym zadaniem. Warto jednak zauważyć, że żaden punkt leżący na poziomicy zerowej funkcji nie może być jej punktem ekstremalnym, gdyż w otoczeniu któregokolwiek punktu z tej poziomicy funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.


<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

  <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/6/65/Am2m05.0130.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.1">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Wykres funkcji


Kartezjusz (1596-1650)
Zobacz biografię

Przykład 6.16.

Niech .
Wykres.gif wykres

Poziomicą zerową tej funkcji jest nieograniczona krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Krzywa ta ma asymptotę o równaniu . W pierwszej ćwiartce tworzy petlę ograniczającą obszar, we wnętrzu którego funkcja przyjmuje wartości ujemne. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że we wnętrzu pętli liścia Kartezjusza funkcja osiąga minimum. Dalsza analiza przebiegu poziomic nie prowadzi efektywnie do precyzyjne określenia, w którym punkcie minimum to jest osiągane. Warto jednak zauważyć, że w żadnym z punktów liścia Kartezjusza funkcja nie może osiągać ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu tej krzywej funkcja osiąga wartości dodatnie jak i ujemne.

Przykład 6.17.

Niech .
Wykres.gif wykres

Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię

Poziomicą zerową tej funkcji jest krzywa, zwana lemniskatą Bernoullego. Przebieg lemniskaty najwygodniej zbadać we współrzędnych biegunowych:

przy czym wyrażenie pod znakiem pierwiastka jest nieujemne dla . Lemniskata Bernoullego jest więc zawarta w części wspólnej koła o promieniu i dwóch obszarów wyciętych z płaszczyzny półprostymi tworzącymi z osią rzędnych kąty . Zauważmy, że we wnętrzu obszaru ograniczonego lemniskatą Bernoullego funkcja osiąga wartości ujemne. Na zewnątrz zaś - dodatnie. Podobnie jak w obu poprzednich przykładach twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie minimum lokalnego w obszarze ograniczonym lemniskatą Bernoullego. Z kolei w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu poziomicy zerowej funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Funkcja nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie należącym do swojej poziomicy zerowej.

Trzy ostatnie przykłady każą nam szukać doskonalszego narzędzia do precyzyjnego lokalizownia punktów ekstremalnych funkcji wielu zmiennych, gdy analiza przebiegu poziomic jest niewystarczająca. Tym narzędziem są

Pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe

Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej . Niech będzie ustalonym niezerowym wektorem tej przestrzeni.

Definicja 6.18.

Mówimy, że funkcja ma w punkcie pochodną kierunkową w kierunku wektora , jeśli

istnieje granica ilorazu różnicowego:

Granicę tę oznaczamy symbolem i nazywamy pochodną kierunkową funkcji w kierunku wektora w punkcie .

Zwróćmy uwagę, że zbiór jest prostą przechodzącą przez punkt równoległą do wektora . Stąd pochodna jest w istocie pochodną w punkcie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej , czyli restrykcji funkcji do podzbioru otwartego rozważanej prostej . Wobec tego możemy powtórzyć jednowymiarowy warunek konieczny istnienia ekstremum w punkcie, w którym istnieje pochodna kierunkowa funkcji (zob. moduł 9, Analiza matematyczna I).

Twierdzenie 6.19.

Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej i niech , . Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie i istnieje pochodna kierunkowa , to

pochodna ta zeruje się.

Dowód 6.19.

Jeśli funkcja osiąga maksimum (odpowiednio: minimum) w punkcie , to funkcja jednej zmiennej osiąga maksimum (odpowiednio: minimum) w punkcie . Z warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej wynika, że pochodna (o ile istnieje) funkcji

zeruje się w punkcie . Stąd End of proof.gif

O ile w przypadku funkcji określonej na otwartym przedziale prostej sytuacja jest oczywista (na prostej mamy tylko jeden kierunek), o tyle już w przypadku funkcji dwóch zmiennych (na płaszczyźnie można wskazać nieskończenie wiele kierunków!) powstaje pytanie o liczbę kierunków, które należy ustalić, aby rozwiązać praktyczny problem lokalizacji punktów ekstremalnych danej funkcji. Warto zauważyć, że w przypadku funkcji określonej na wymiarowej przestrzeni unormowanej nie ma potrzeby rozważać pochodnych kierunkowych w kierunku wektorów liniowo zależnych, a więc większej niż wynosi wymiar przestrzeni. Wyróżnijmy wobec tego pochodne kierunkowe w kierunku wektorów bazowych.

Niech i niech , , ..., będzie bazą kanoniczną tej przestrzeni. Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni .

Definicja 6.20.

Pochodne kierunkowe (o ile istnieją) , , ..., funkcji w kierunku wektorów bazy nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji w punkcie . Pochodną cząstkową funkcji w kierunku wektora

oznaczamy tradycyjnie symbolem:

W przypadku, gdy nie numerujemy współrzędnych argumentu funkcji pochodne cząstkowe oznaczamy symbolami

.

Przeformułujmy warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji określonej na zbiorze otwartym .

Twierdzenie 6.21.

Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie , w którym istnieją pochodne cząstkowe , , to pochodne te zerują się w tym punkcie, tj.

Zwróćmy uwagę, że twierdzenie podaje jedynie warunek konieczny istnienia ekstremum. Punkt , który spełnia układ równań:

nie musi być punktem ekstremalnym funkcji .

Wróćmy do przykładów, w których stwierdziliśmy potrzebę znalezienia dokładniejszego narzędzia do lokalizacji ekstremów.

Przykład 6.22.

Z przebiegu poziomicy zerowej funkcji wywnioskowaliśmy - w oparciu o twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym - że funkcja ta osiąga minimum w pewnym punkcie wewnątrz trójkąta o wierzchołkach , , . Rozwiązując układ dwóch równań

otrzymujemy układ

który spełniają współrzędne czterech punktów , , , . Jedynym punktem z wnętrza wskazanego trójkąta jest punkt , w którym funkcja osiąga minimum równe . Pozostałe punkty , , leżą na poziomicy zerowej funkcji , która - jak już sprawdziliśmy - nie może zawierać żadnego punktu ekstremalnego funkcji (zob. przykład 6.15.).

Przykład 6.23.

Z przebiegu poziomicy zerowej funkcji wywnioskowaliśmy - w oparciu o twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym - że funkcja ta osiąga minimum w pewnym punkcie wewnątrz pętli liścia Kartezjusza. Rozwiązując układ dwóch równań

otrzymujemy układ

który spełniają współrzędne dwóch punktów , . Jedynym punktem z wnętrza obszaru ograniczonego przez pętlę liścia Kartezjusza jest punkt , w którym funkcja osiąga minimum równe . Punkt leży na poziomicy zerowej funkcji , która - jak już sprawdziliśmy - nie może zawierać żadnego punktu ekstremalnego funkcji (zob. przykład 6.16.).

Przykład 6.24.

Podobnie jak w obu poprzednich przykładach z przebiegu poziomicy zerowej funkcji wywnioskowaliśmy - w oparciu o twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym - że funkcja ta osiąga minimum w pewnym punkcie wewnątrz obszaru ograniczonego lemniskatą Bernoullego. Rozwiązując układ dwóch równań

otrzymujemy układ

który spełniają współrzędne trzech punktów , , . We wnętrzu obszaru ograniczonego lemniskatą Bernoullego leżą punkty i , w których funkcja osiąga minima równe . Punkt leży na poziomicy zerowej funkcji , która - jak już sprawdziliśmy - nie może zawierać żadnego punktu ekstremalnego funkcji (zobacz przykład 6.17.).

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Rozważmy funkcję , która punktowi przyporządkowuje pochodną cząstkową funkcji po zmiennej w punkcie , czyli funkcję

Definicja 6.25.

Jeśli w punkcie istnieje pochodna cząstkowa funkcji po zmiennej , to mówimy, że funkcja ma pochodną cząstkową rzędu drugiego po zmiennych oraz . Pochodną tę oznaczamy symbolem , bądź krótko lub . Gdy

piszemy zamiast .
Uwaga 6.26.

Jeśli jest funkcją zmiennych, to często zamiast pisać

piszemy

bądź

Powstaje naturalne pytanie, czy zachodzi równość między pochodnymi oraz , jeśli obie istnieją.

Zanim sformułujemy twierdzenie, które stanowi pozytywną odpowiedź na pytanie, rozważmy następujący

Przykład 6.27.

Funkcja
ma w punkcie obie pochodne cząstkowe mieszane oraz , lecz są one różne. A mianowice , podczas gdy

Okazuje się jednak, że wystarczy przyjąć naturalne założenie o ciągłości pochodnych cząstkowych mieszanych oraz w otoczeniu punktu , aby mieć gwarancję ich równości w danym punkcie.

Uwaga 6.28.

Jeśli jest funkcją, która w punkcie ma ciągłe

pochodne cząstkowe oraz , to w punkcie są one równe, tj.

Dowód uwagi pomijamy (można go znaleźć np. w podręczniku Ryszarda Rudnickiego Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

W podobny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wprowadźmy wygodne oznaczenie pochodnych cząstkowych za pomocą wielowskaźników . Niech będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym .

Oznaczmy symbolem operację, która funkcji przypisuje pochodną cząstkową rzędu po zmiennej , o ile ta pochodna istnieje.

Definicja 6.29.

Załóżmy, że istnieją kolejno pochodne cząstkowe

i nie zależą od kolejności różniczkowania. Mówimy wówczas, że funkcja ma pochodną

cząstkową

rzędu w punkcie . Pochodną tę notujemy też często symbolem .

Pochodne cząstkowe w fizyce. Elementy teorii pola

Niech będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym . Załóżmy, że w pewnym punkcie istnieją pochodne cząstkowe .

Definicja 6.30.

Wektor nazywamy gradientem funkcji w punkcie . Wektor ten oznaczamy też często symbolem nabla: . Punkt , w którym wyznaczamy gradient funkcji , zapisujemy czasem w formie indeksu dolnego: , .

Uwaga 6.31.

Jeśli funkcje mają w punkcie pochodne cząstkowe , , , to

a)

b)

Dowód 6.31.

Korzystając z twierdzenia o pochodnej sumy i iloczynu funkcji , wyznaczamy kolejne współrzędne wektorów oraz :

oraz

gdy . Stąd otrzymujemy równości a) oraz b).

End of proof.gif

W ramach następnego modułu wykażemy, że

Uwaga 6.32.
Pochodna kierunkowa w kierunku gradientu jest największa.

W fizyce funkcję o wartościach liczbowych nazywa się funkcją skalarną, natomiast funkcję nazywa się polem (wektorowym). Przykładem funkcji skalarnych są np. temperatura, potencjał pola grawitacyjnego. Przykładem pola, które znamy ze szkoły, jest pole grawitacyjne. Jeśli w początku układu współrzędnych w przestrzeni znajduje się punkt materialny o masie , to - zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona - na dowolny inny punkt materialny położony w punkcie o masie działa siła , której składowe wynoszą:

gdzie jest iloczynem mas obu punktów materialnych i stałej grawitacji

natomiast jest odległością obu punktów. Zwróćmy uwagę, że

stąd

siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości obu punktów materialnych.

Definicja 6.33.

Pole wektorowe nazywamy polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja skalarna taka, że w dowolnym punkcie zbioru otwartego .

Funkcję nazywamy wówczas potencjałem pola wektorowego .
Uwaga 6.34.

Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. Potencjałem tego pola jest funkcja skalarna , gdzie (jak powyżej)

oraz .

Dowód 6.34.

Policzmy pochodne cząstkowe funkcji określonej w zbiorze otwartym , czyli wszędzie w przestrzeni poza początkiem układu współrzędnych. Mamy

czyli

End of proof.gif

Definicja 6.35.

Dywergencją pola wektorowego w punkcie nazywamy liczbę

o ile istnieją pochodne cząstkowe . Jeśli w dowolnym punkcie dywergencja , to pole wektorowe nazywamy polem bezźródłowym.

Uwaga 6.36.
Pole grawitacyjne jest polem bezźródłowym w .

Dowód 6.36.

W dowolnym punkcie mamy

i podobnie

Stąd

End of proof.gif

Definicja 6.37.

Rotacją pola wektorowego w punkcie

nazywamy wektor

Wektor ten oznaczamy też czasem symbolem . Jeśli w każdym punkcie rotacja , to pole wektorowe nazywamy bezwirowym.

Uwaga 6.38.
Pole grawitacyjne jest polem bezwirowym w .

Dowód 6.38.

W dowolnym punkcie mamy

oraz podobnie

Pierwsza współrzędna wektora rotacji jest więc równa zeru, gdyż

W ten sam sposób sprawdzamy, że również druga i trzecia współrzędna wektora rotacji zerują się:

Stąd , dla .

End of proof.gif