Metody numeryczne

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + laboratorium z elementami ćwiczeń (30 godzin)

Opis

Wiele praktycznych zastosowań komputerów (symulacje zjawisk przyrodniczych, społecznych i innych, kodowanie MP3 i JPEG, systemy projetkowania CAD, wyszukiwarki internetowe itp.) wymaga przeprowadzenia obliczeń na liczbach rzeczywistych lub zespolonych. W niniejszym wykładzie przedstawiamy metody numerycznego rozwiązywania podstawowych zagadnień matematycznych spotykanych w wyżej wymienionych zastosowaniach. Nacisk kładziemy na efektywne łączenie teorii matematycznej i praktyki obliczeniowej, aby tworzyć skuteczne — a więc szybkie i dokładne (na ile to możliwe) — algorytmy wyznaczania rozwiązań. Dyskutujemy własności i ograniczenia omawianych algorytmów, a także wskazujemy praktyczne aspekty ich implementacji. Pokazujemy, że niektóre zadania mogą być trudne w realizacji numerycznej — i że czasem można to sprytnie obejść.

Sylabus

Autorzy

• Piotr Krzyżanowski — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
• Leszek Plaskota — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Wymagania wstępne

• Wstęp do programowania
• Analiza matematyczna
• Algebra liniowa z geometrią analityczną

Zawartość

• Arytmetyka zmiennoprzecinkowa
• Uwarunkowanie zadania, numeryczna poprawność algorytmu
• Równania nieliniowe
• Wybrane zadania algebry liniowej:
  • układy równań liniowych
  • liniowe zadanie najmniejszych kwadratów
  • zagadnienie własne
• Interpolacja i aproksymacja:
  • wielomianowa
  • splajnowa
  • trygonometryczna
  • szybka transformacja Fouriera
• Całkowanie i różniczkowanie
• Środowisko obliczeń numerycznych:
  • języki programowania: C, Fortran, MATLAB i Octave
  • wybrane specjalistyczne biblioteki i techniki optymalizacyjne

Literatura

• D. Kincaid, W. Cheney Analiza numeryczna, WNT, 2006, ISBN 83-204-3078-X
• A. Björck, G. Dahlquist Metody numeryczne, PWN, 1987, ISBN 83-01-04276-1

Moduły

1. Wprowadzenie do metod numerycznych (Ćwiczenia)
2. Równania nieliniowe (Ćwiczenia)
3. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa (Ćwiczenia)
4. Własności zadań obliczeniowych i algorytmów numerycznych (Ćwiczenia)
5. Układy równań liniowych (Ćwiczenia)
6. Pamięć hierarchiczna a algorytmy numeryczne (Ćwiczenia)
7. Uwarunkowanie układu równań liniowych (Ćwiczenia)
8. Wielkie układy równań liniowych (Ćwiczenia)
9. Interpolacja wielomianowa (Ćwiczenia)
10. Szybka transformacja Fouriera (FFT) (Ćwiczenia)
11. Funkcje sklejane (splajny) (Ćwiczenia)
12. Nadokreślone układy równań (Ćwiczenia)
13. Wektory i wartości własne (Ćwiczenia)
14. Całkowanie i różniczkowanie numeryczne (Ćwiczenia)