MN12LAB

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania


Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie: Rozszerzony układ równań dla zadania najmniejszych kwadratów

Inną, oprócz sprowadzenia do układu równań normalnych, metodą transformacji zadania najmniejszych kwadratów do zadania rozwiązywania układu równań z macierzą kwadratową, jest zapisanie w formie układu dwóch układów równań (sic!). Dokładniej, możemy scharakteryzować zadanie wygładzania jako znalezienie dwóch wektorów oraz takich, że

Zapisz macierzowo ten układ równań. Wskaż, kiedy mogłoby być opłacalne stosowanie takiego podejścia. Porównaj koszt rozwiązania tego układu wprost metodą eliminacji Gaussa, z kosztem innych metod rozwiązywania zadania najmniejszych kwadratów.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

W twierdzeniu o uwarunkowaniu zadania najmniejszych kwadratów mówi się, że

Wyjaśnij, dlaczego rzeczywiście tak jest.

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Dopasowanie liniowych parametrów funkcji do danych

Znajdź i takie, że funkcja minimalizuje błąd średniokwadratowy dla danych:

x f(x)
0.00 4.00000000000000e+00
1.25 3.28650479686019e+00
2.50 3.08208499862390e+00
3.75 3.02351774585601e+00
5.00 3.00673794699909e+00
6.25 3.00193045413623e+00
7.50 0.00055308437015e+00
8.75 3.00015846132512e+00
10.00 3.00004539992976e+00
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie: Ważone zadanie najmniejszych kwadratów

Niech będzie macierzą pełnego rzędu, przy czym . Podaj algorytm rozwiązywania ważonego zadania najmniejszych kwadratów:

gdzie zakładamy, że są danymi wagami. (Gdy wszystkie , zadanie sprowadza się do zwykłego zadania najmniejszych kwadratów.)

Rozwiązanie

Ćwiczenie

Opisz szczegółowo sposób rozwiązywania układu równań z niewiadomymi

korzystający z rozkładu QR metodą Householdera.

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Obroty Givensa

Innym sposobem wyzerowania wybranych elementów zadanego wektora za pomocą przekształceń ortogonalnych jest zastosowanie tzw. obrotów Givensa,

Wskaż jak dobrać i tak, by macierz

była ortogonalna i przekształcała w zadany wyżej sposób. Jak zastosować sekwencję obrotów Givensa tak, by zadany wektor -wymiarowy przeprowadzić na wektor o kierunku wektora jednostkowego? Porównaj koszt tej operacji z kosztem przekształcenia Householdera. Kiedy opłaca się stosować obroty Givensa w miejsce odbić Householdera?

Rozwiązanie