MN03LAB

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania


Własności arytmetyki zmiennoprzecinkowej

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie: Równe i równiejsze

Wyjaśnij, dlaczego w arytmetyce podwójnej precyzji IEEE 754 mamy

octave:19> 2006/1e309 ans = 0 octave:20> 2.006/1e306 ans = 2.0060e-306 octave:21> (2006/1000)/(1e309/1000) ans = 0

Oczywiście, "teoretycznie" wszystkie trzy liczby powinny być sobie równe (i niezerowe).

Wskazówka

Ćwiczenie: Szeregi zbieżne(?)

Podaj przykłady zbieżnych szeregów postaci , których -te sumy częściowe obliczone w arytmetyce pojedynczej precyzji algorytmem

suma = 0.0;
for n = 1..N
	suma += <math>\displaystyle a_n</math>;

będą

  • ograniczone niezależnie od , albo
  • numerycznie rozbieżne, to znaczy takie, że dla bardzo dużych zachodzi suma == Inf.

Wykonaj to samo zadanie, ale podając przykłady szeregów rozbieżnych (w arytmetyce dokładnej).

Rozwiązanie

Ćwiczenie

Dla kolejnych , wyznacz -tą sumę częściową szeregu Taylora dla funkcji wykładniczej, gdy :

korzystając z algorytmu podanego w poprzednim zadaniu. Oblicz błąd względny i bezwzględny wyznaczonego przybliżenia, w porównaniu do wartości wyznaczonej z wykorzystaniem funkcji bibliotecznej exp(). Powtórz następnie dla .

Czy --- zgodnie z teorią matematyczną --- sumy te dążą do wartości . Objaśnij dokładnie, co się stało.

Rozwiązanie

Ćwiczenie

Już wcześniej stwierdziliśmy, że wyznaczanie dla dużego nie jest dobrym pomysłem. Przeprowadź eksperyment numeryczny potwierdzający to stwierdzenie i objaśnij jego wyniki.

Wskazówka

Ćwiczenie

Jak wiadomo, szereg harmoniczny jest rozbieżny. Spróbuj przewidzieć, jaki będzie efekt numerycznego wyznaczenia tej sumy w arytmetyce podwójnej precyzji przy użyciu poniższego kodu.

int dlicznik;
	double dsuma, dstarasuma;
	double dskladnik;
	
	dstarasuma = 0.0; dsuma = 1.0; dlicznik = 1;
	while(dstarasuma != dsuma) 
	{
		dskladnik = 1.0/dlicznik;
		dstarasuma = dsuma;
		dsuma += dskladnik;
		dlicznik++;
	}
	printf("Suma = %e. Liczba składników = %d, składnik = %e\n", 
		dsuma, dlicznik-1, dskladnik);
	 
Wskazówka
Rozwiązanie


Ćwiczenie: Zadanie o wyznaczaniu odwrotności bez dzielenia metodą Newtona

Należy wyznaczyć przybliżenie stosując metodę Newtona do równania . Zaproponuj dobre przybliżenie początkowe wiedząc, że jest liczbą maszynową typu double. Ile iteracji wystarczy, by osiągnąć -zadowalające przybliżenie?

Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech . Czy z punktu widzenia błędów w lepiej jest policzyć sumę tych liczb w kolejności od najmniejszej do największej, czy odwrotnie?

Rozwiązanie

Ćwiczenie

Dlaczego w algorytmie bisekcji rozwiązywania równania , sprawdzając warunek różnych znaków w krańcach przedziału , używamy kryterium

if ( sign(f(x)) != sign(f(xl)) )
...	

a nie, matematycznie równoważnego, wyrażenia

if ( f(x)*f(lewy) < 0 )	
...
Wskazówka
Rozwiązanie