MN14LAB

Kwadratury

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie: Kwadratura prostokątów kontra kwadratura trapezów

Pokazać, że jeśli $f\in C^{(2)}([a,b])$ to dla kwadratury prostokątów

$Q_0(f)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\frac{b-a}{2}\approx S(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

mamy

$S(f)-Q_0(f)=\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{(2)}({\xi }_0)$,

(${\xi }_0\in [a,b]$), a w konsekwencji dla funkcji, których druga pochodna jest ograniczona przez stałą $M$ (klasę wszystkich takich funkcji oznaczamy przez $F_M^1([a,b])$), zachodzi

$\underset{f\in F_M^1([a,b])}{\max }|S(f)-Q_0(f)|=\frac{M(b-a{)}^3}{24}$

Porównaj ten wynik z wynikiem dla kwadratury trapezów.

Rozwiązanie

Wzór najprościej dowieść, korzystając z rozwinięcia Taylora wokół środka odcinka.

Błąd w klasie $F_M^1([a,b])$ jest dla kwadratury prostokątów dwa razy mniejszy niż dla kwadratury trapezów.

Ćwiczenie

Rozpatrzmy kwadratury interpolacyjne oparte na dwóch węzłach $x_0,x_1\in [a,b]$. Pokazać, że wśród tych kwadratur najmniejszy błąd w klasie $F_M^1([a,b])$ jest osiągany przez kwadraturę

$Q^I(f)=\frac{b-a}{2}\left(f\right(\frac{3a+b}{4})+f(\frac{a+3b}{4}\left)\right)$,

a jej błąd

$\underset{f\in F_M^1([a,b])}{\sup }|S(f)-Q^I(f)|=\frac{M(b-a{)}^3}{32}$

Ćwiczenie

Pokazać, że drugą kolumnę tabeli kwadratur Romberga tworzą złożone kwadratury parabol, tzn.

${\overline{P}}_k(f)=\frac{4{\overline{T}}_{2k}(f)-{\overline{T}}_k(f)}{3}$

Ćwiczenie

Opracuj ekonomiczny program obliczający wartość ${\overline{T}}_1^s(f)$ kwadratury Romberga.

Wskazówka

Tego typu tabelki już liczyliśmy, przy okazji algorytmu różnic dzielonych.

Ćwiczenie

Zaimplementuj adaptacyjną kwadraturę trapezów.

Wskazówka

Dobrze jest skorzystać ze stosu, na którym będziesz odkładać użyteczne wartości

Rozwiązanie

Bardzo dokładnie opisuje to rozdział 7.6 w podręczniku

• D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.