MN09LAB

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania


Interpolacja wielomianowa

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie: Błąd interpolacji dla węzłów równoodległych

Wyprowadź wzór na błąd interpolacji w przypadku węzłów równoodległych, tzn. , :

jeśli dla , to

Wskazówka

Przetestuj eksperymentalnie jakość tego oszacowania dla kilku funkcji, dla których znasz wartość , np.

  • wielomianu stopnia ,
  • wielomianu stopnia ,
  • funkcji na ,
  • funkcji na ,
  • funkcji .

porównując faktyczny błąd w z błędem z powyższego oszacowania.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie: Aproksymacja funkcji sinus

Ile węzłów interpolacji wielomianowej Lagrange'a wystarczy, by przybliżyć funkcję z błędem bezwzględnym na całym przedziale . Podaj odpowiedź w przypadku

  • węzłów równoodległych w ,
  • węzłów Czebyszewa w .

Sprawdź eksperymentalnie, czy się nie pomyliłeś.

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Wagi wzoru barycentrycznego

Wyprowadź formułę na pierwszy wzór barycentryczny w przypadku węzłów równoodległych na odcinku ,

Wywnioskuj stąd wzór na wagi w drugim wzorze barycentrycznym.

Wskazówka

Podaj algorytm wyznaczania tych wag dla zadanego .

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Implementacja algorytmu barycentrycznego

Zaimplementuj drugi wzór barycentryczny tak, by w efekcie dostać dwie procedury:

  • c = polyfitb(x,y) --- wyznaczającą współczynniki wielomianu interpolującego wartości w węzłach równoodległych ;
  • Y = polyvalb(X,c) --- wyznaczającą, w zadanych węzłach , wartości wielomianu interpolacyjnego o współczynnikach .

Oszacuj koszt twojego algorytmu i porównaj z kosztem algorytmu różnic dzielonych (dla współczynników) i algorytmem Hornera (dla wartości) w dwóch przypadkach:

  • kiedy jest dużo węzłów interpolacji, a potrzebna jest tylko jedna wartość wielomianu interpolacyjnego;
  • na odwrót, kiedy jest mało węzłów interpolacji, a potrzeba wyznaczyć bardzo dużo wartości wielomianu interpolacyjnego.
Rozwiązanie

Ćwiczenie: Dodawanie węzła interpolacji

Często w aplikacjach takich jak programy CAD zachodzi potrzeba dodania na bieżąco dodatkowego węzła interpolacji. Podaj, jak to zrobić --- i jaki to będzie miało koszt --- gdy interpolant jest zadany w bazie

  • naturalnej
  • Newtona
  • Lagrange'a
Rozwiązanie

Ćwiczenie: Algorytm Hornera może więcej

Pokaż, że algorytm Hornera obliczania wartości wielomianu danego w postaci potęgowej jest jednocześnie algorytmem dzielenia tego wielomianu przez jednomian . Dokładniej, jeśli to

gdzie są zdefiniowane tak jak w algorytmie Hornera. Zaimplementuj i sprawdź na przykładach.

Rozwiązanie


Ćwiczenie

Niech dane będą i funkcja , która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna i wszystkie jej pochodne są na ograniczone przez . Napisz program znajdujący stopień oraz współczynniki w bazie Newtona wielomianu interpolującego z błędem

Rozpatrz dwa przypadki: gdy węzły interpolacji są równoodległe, oraz gdy węzły są czebyszewowskie.