Logika i teoria mnogości: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Arek (dyskusja | edycje)
687 edycji
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
 
(Nie pokazano 15 wersji utworzonych przez 6 użytkowników)
Linia 7: Linia 7:
== Sylabus ==
== Sylabus ==
=== Autorzy ===
=== Autorzy ===
* Marek Zaionc
* Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
* Jakub Kozik
* Jakub Kozik — Uniwersytet Jagielloński
* Marcin Kozik
* Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński


=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
* Rachunek zdań i rachunek predykatów.
* Rachunek zdań i rachunek predykatów
* Aksjomatyka teorii mnogości ZFC.
* Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
* Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów.
* Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
* Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
* Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
** twierdzenie o indukcji,
** twierdzenie o indukcji
** własności liczb,
** własności liczb
** definiowanie przez indukcję,
** definiowanie przez indukcję
** zasada minimum,
** zasada minimum
** zasada maksimum.
** zasada maksimum
* Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
* Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
* Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych.
* Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
* Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
* Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
**  działania i porządek.
**  działania i porządek
* Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
* Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
**  Obrazy i przeciwobrazy zbiorów.
**  obrazy i przeciwobrazy zbiorów
* Teoria mocy:
* Teoria mocy:
** Zbiory przeliczalne i ich własności.
** zbiory przeliczalne i ich własności
** Zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne.
** zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
** Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
** zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
** Zbiory <math>\{0, 1\}^N</math> i <math>N^N</math> nie są przeliczalne. Zbiór <math>2^N \sim R</math>  
** zbiory <math>\{0, 1\}^N</math> i <math>N^N</math> nie są przeliczalne. Zbiór <math>2^N \sim R</math>  
** Twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
** twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
** Lemat Banacha,
** lemat Banacha
** Twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne),
** twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
** Twierdzenie Cantora.
** twierdzenie Cantora
** Zbiory mocy kontinuum.
** zbiory mocy kontinuum
* Zbiory uporządkowane.
* Zbiory uporządkowane:
** Lemat Kuratowskiego Zorna.
** lemat Kuratowskiego Zorna
** Przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna.
** przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
** Dowód lemat Kuratowskiego Zorna
** dowód lemat Kuratowskiego Zorna
* Zbiory liniowo uporządkowane.
* Zbiory liniowo uporządkowane:
** Pojęcia gęstości i ciągłości.
** pojęcia gęstości i ciągłości
** Porządek na <math>R</math> jest ciągły.
** porządek na <math>R</math> jest ciągły
* Zbiory dobrze uporządkowane.
* Zbiory dobrze uporządkowane:
** Twierdzenie o indukcji.
** twierdzenie o indukcji
** Liczby porządkowe.
** liczby porządkowe
** Zbiory liczb porządkowych.
** zbiory liczb porządkowych
** Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
** twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
** Twierdzenie Zermelo,
** twierdzenie Zermelo
*  Język rachunku predykatów
** Rezolucja i automatyczne dowodzenie twierdzeń


===Literatura===
===Literatura===
# H. Rasiowa, ''Wstęp do matematyki'', PWN, Warszawa 1971, 1984, 1998  
# H. Rasiowa, ''Wstęp do matematyki'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
# K. Kuratowski, A. Mostowski, ''Teoria mnogości'', PWN, Warszawa, 1978
# K. Kuratowski, A. Mostowski, ''Teoria mnogości'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
# W. Marek, J. Onyszkiewicz, ''Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach'', PWN, 1996.
# W. Marek, J. Onyszkiewicz, ''Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.
 
== (Tymczasowe) Uwagi odnośnie konwersji ==
Konwerter nie obsługuje dobrze polskich liter w nazwach makr, więc warto przed konwersją zastąpić wystąpienia {Przykład} ciągiem {przyklad}.
Aby dobrze konwertowały się z LaTeXa ćwiczenia, rozwiązania i wskazówki, proszę w konwerterze używać następujących makr:
 
<pre>
\renewcommand{\hints}{}
\renewcommand{\endCwiczenie}{}
\renewcommand{\beginCwiczenie}{
\begin{zad}
\renewcommand{\endCwiczenie}{\end{zad}}
}
\renewcommand{\sol}{
\end{Cwiczenie}
\begin{sol}
\renewcommand{\endCwiczenie}{\end{sol}}
}
\renewcommand{\hint}{
\end{Cwiczenie}
\begin{hint}
\renewcommand{\endCwiczenie}{\end{hint}}
}
</pre>


== Moduły ==
== Moduły ==
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 2: Rachunek zdań|Rachunek zdań]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 2: Rachunek zdań|Rachunek zdań]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 2: Rachunek zdań|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów|Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów]]  
# Iloczyn kartezjański i relacje ([[Iloczyn kartezjański i relacje/Test 5|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha]]  
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów|Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów]]
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje]]  
##[[Logika i teoria mnogości/Wykład 5.2| Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10: Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości|Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną]]
# Zbiory uporządkowane. ([[Zbiory uporządkowane/Test 10|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 13: Język rachunku predykatów. Rezolucja i automatyczne dowodzenie twierdzeń|Język rachunku predykatów. Rezolucja i automatyczne dowodzenie twierdzeń]]
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10: Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości|Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości]]
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10.2| Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)]]  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|test]])
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|test]])

Aktualna wersja na dzień 20:05, 29 wrz 2006

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.

Sylabus

Autorzy

  • Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
  • Jakub Kozik — Uniwersytet Jagielloński
  • Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński

Zawartość

  • Rachunek zdań i rachunek predykatów
  • Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
  • Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
  • Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
    • twierdzenie o indukcji
    • własności liczb
    • definiowanie przez indukcję
    • zasada minimum
    • zasada maksimum
  • Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
  • Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
  • Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
    • działania i porządek
  • Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
    • obrazy i przeciwobrazy zbiorów
  • Teoria mocy:
    • zbiory przeliczalne i ich własności
    • zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
    • zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
    • zbiory {0,1}N i NN nie są przeliczalne. Zbiór 2N∼R
    • twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
    • lemat Banacha
    • twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
    • twierdzenie Cantora
    • zbiory mocy kontinuum
  • Zbiory uporządkowane:
    • lemat Kuratowskiego Zorna
    • przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
    • dowód lemat Kuratowskiego Zorna
  • Zbiory liniowo uporządkowane:
    • pojęcia gęstości i ciągłości
    • porządek na R jest ciągły
  • Zbiory dobrze uporządkowane:
    • twierdzenie o indukcji
    • liczby porządkowe
    • zbiory liczb porządkowych
    • twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
    • twierdzenie Zermelo

Literatura

  1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
  2. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.

Moduły

  1. Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost (test)
  2. Rachunek zdań (test)
  3. Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów (test)
  4. Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach (test)
  5. Iloczyn kartezjański i relacje (test)
    1. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
    2. Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)
  6. Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha (test)
  7. Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje (test)
  8. Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek (test)
  9. Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum (test)
  10. Zbiory uporządkowane. (test)
    1. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości
    2. Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)
  11. Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady (test)
  12. Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną (test)
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogości&oldid=60011”