Logika i teoria mnogości/Wykład 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wstęp

John von Neumann (1903-1957)
Zobacz biografię

Liczby naturalne to jedna z najbardziej podstawowych idei matematycznych. Operacje dodawania i mnożenia liczb naturalnych są najczęściej uznawane za najprostsze operacje matematyczne. W aksjomatycznym podejściu do teorii mnogości wszystkie "oczywiste fakty" dotyczące liczb naturalnych należy wywieść z aksjomatów. W pierwszej części tego wykładu wykażemy, że aksjomatyka ZF gwarantuje istnienie zbioru liczb naturalnych. Druga część poświęcona jest dowodzeniu własności tych liczb.

W teorii mnogości liczby naturalne, podobnie jak wszystkie inne byty, muszą być zbiorami. Od aksjomatyki teorii mnogości niewątpliwie należy wymagać, aby gwarantowała ich istnienie. W aksjomatyce ZF opisanej w Wykładzie 4 jako liczby naturalne przyjmuje się zbiory, do których istnienia niezbędny jest aksjomat zbioru pustego, aksjomat pary i aksjomat sumy. Konstrukcja liczb naturalnych przedstawiona w dalszej części wykładu została zaproponowanych przez Johna von Neumanna jak specyficzny przypadek liczb porządkowych, które będą dokładniej przedstawione w Wykładzie 11.

Liczby naturalne definiujemy następująco. Liczbą naturalną zero jest zbiór pusty . Każdą następną liczbę naturalną otrzymujemy z poprzedniej w prosty sposób:

jeśli jest liczbą naturalną, to następną po niej liczbą jest

Początkowe liczby naturalne to:

Liczby naturalne to zbiory, których istnienie jest zagwarantowane przez aksjomaty ZF. Intuicyjnie, patrząc na nie widzimy, że posiadają tyle elementów jaka jest "wartość" liczby. Zero, to zbiór pusty, jeden, to zbiór którego jedynym elementem jest i tak dalej.

Zbiory induktywne

Aksjomaty ZF gwarantują więcej. Nie tylko każda z liczb naturalnych istnieje, ale również istnieje zbiór zawierający je wszystkie. Najmniejszy z takich zbiorów nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Aby wykazać istnienie tego zbioru, niezbędny jest aksjomat nieskończoności. Przytoczymy jego brzmienie zgodnie z Wykładem 4.

Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem nieskończoności, jest prawdą:

Każdy zbiór spełniający warunek występujący w aksjomacie nieskończoności nazywamy zbiorem induktywnym. Aksjomat nieskończoności nie nakłada żadnych ograniczeń górnych na zbiory induktywne -- mogą być one dowolnie wielkie. Zbiorem liczb naturalnych będziemy nazywać najmniejszy ze zbiorów induktywnych. Wcześniej jednak musimy udowodnić, że zbiór taki istnieje. Następujące fakty pozwolą nam go zdefiniować.

Lemat 2.1.

Jeśli jest niepustym zbiorem zbiorów induktywnych to jest również zbiorem induktywnym.

Dowód

Aby wykazać, że jest zbiorem induktywnym, musimy wykazać, że:

oraz że

  • .

Ponieważ każdy z elementów jest zbiorem induktywnym, to , czyli zbiór pusty jest w każdym z elementów . Jeśli jakiś zbiór jest w każdym elemencie zbioru, to jest również w jego przecięciu, czyli . Pozostaje wykazać drugi fakt, weźmy dowolny . Natychmiastową konsekwencją jest, że dla każdego , elementu mamy . Skoro każdy element jest zbiorem induktywnym, to dla każdego w mamy i, z definicji przecięcia, . W ten sposób udowodniliśmy oba warunki i równocześnie lemat.

End of proof.gif

Przechodzimy do dowodu głównego twierdzenia. Mówi ono, że istnieje zbiór induktywny będący podzbiorem wszystkich zbiorów induktywnych.

Twierdzenie 2.2.

Istnieje najmniejszy, pod względem inkluzji, zbiór induktywny.

Dowód

Na mocy aksjomatu nieskończoności istnieje co najmniej jeden zbiór induktywny -- oznaczmy go przez . Rozważmy wszystkie podzbiory tego zbioru i wybierzmy z nich, na mocy aksjomatu wyróżniania, zbiory induktywne -- powstały w ten sposób podzbiór nazwijmy . Zbiór jest niepusty, ponieważ jest zagwarantowane przez fakt, że i założenie mówiące, że jest zbiorem induktywnym. Wnioskujemy, że zbiór spełnia założenia Lematu 2.1 (patrz lemat 2.1.) i w związku z tym jest zbiorem induktywnym.

Postulujemy, że zbiór jest najmniejszym zbiorem induktywnym. Aby to wykazać, pokażemy, że dla dowolnego zbioru induktywnego mamy . Ustalmy dowolny zbiór induktywny , na mocy Lematu 2.1 (patrz lemat 2.1.), zastosowanego do zbioru otrzymujemy, że jest zbiorem induktywnym. W związku z tym i dalej . To dowodzi, że zbiór jest podzbiorem każdego zbioru induktywnego, czyli najmniejszym pod względem inkluzji zbiorem induktywnym.

End of proof.gif

Natychmiastowym wnioskiem jest, że zbiór taki jest jedyny.

Wniosek 2.3.

Istnieje unikalny, najmniejszy pod względem inkluzji, zbiór induktywny.

Dowód

Ustalmy dwa dowolne, najmniejsze pod względem inkluzji zbiory induktywne i . Wtedy i , skąd wnioskujemy, że , co należało wykazać.

End of proof.gif

Tak skonstruowany zbiór nazywamy zbiorem liczb naturalnych.

Definicja 2.4.

Najmniejszy pod względem inkluzji zbiór induktywny nazywamy zbiorem liczb naturalnych i oznaczamy, przez . Elementy tego zbioru nazywamy liczbami naturalnymi.

Skonstruowaliśmy, przy pomocy aksjomatów ZF zbiór posiadający pewne własności i nazwaliśmy go zbiorem liczb naturalnych. Zbiór ten niewątpliwie zawiera liczbę zero, zdefiniowaną wcześniej jako zbiór pusty. Zawiera również liczbę jeden , ponieważ zawiera i dla każdego elementu zawiera również jego następnik. Każda, z intuicyjnie oczywistych własności liczb naturalnych, musi być wykazana na gruncie aksjomatów ZF zanim uznamy ją za prawdziwą. Pozostała część tego wykładu poświęcona jest dowodzeniu podstawowych faktów dotyczących liczb naturalnych.

Indukcja matematyczna

Podstawową metodą dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych jest zasada indukcji matematycznej. Używając aksjomatów, możemy wykazać, że indukcja matematyczna działa. Formalnie, dla dowolnej własności, którą chcemy dowodzić przez indukcję, definiujemy zbiór elementów, które ją spełniają. Jeśli zbiór ten spełnia wymagane własności, jest on równy zbiorowi liczb naturalnych, czyli własność jest prawdą dla wszystkich liczb naturalnych. W formalny sposób przedstawia to poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 3.1. [o indukcji matematycznej]

Dla dowolnego zbioru jeśli

oraz

to .

Dowód

Ustalmy dowolny zbiór spełniający założenia twierdzenia. Zbiór jest zbiorem induktywnym, a więc, na mocy definicji zbioru liczb naturalnych, . Równocześnie założyliśmy, że i w związku z tym , co dowodzi twierdzenia.

End of proof.gif

Własności liczb naturalnych

Pierwszym twierdzeniem, które udowodnimy przy użyciu indukcji matematycznej jest twierdzenie mówiące, że każdy element liczby naturalnej jest również liczbą naturalną.

Twierdzenie 4.1.

Każdy element liczby naturalnej jest również liczbą naturalną. Formalnie:

Dowód

Dowiedziemy tego faktu przez indukcję. Oznaczmy przez zbiór tych wszystkich elementów które spełniają naszą własność:

Innymi słowy, jest to zbiór liczb naturalnych, dla których dowodzony fakt jest prawdą. Aby móc zastosować Twierdzenie 3.1. (patrz twierdzenie 3.1.), musimy wykazać trzy własności zbioru . Niewątpliwie , skoro jest zbiorem niektórych liczb naturalnych. Przechodzimy teraz do pierwszego kroku indukcyjnego.

  • Po pierwsze musimy wykazać, że . Aby to sprawdzić, musimy stwierdzić, czy każdy element zbioru jest liczbą naturalną. Ponieważ nie posiada żadnych elementów nie trzeba niczego dowodzić.
  • Załóżmy teraz, że . To oznacza, że każdy element jest liczbą naturalną. Rozważmy . Każdy element jest liczbą naturalną, na mocy założenia indukcyjnego, również jedyny element równy jest liczbą naturalną, ponieważ . W związku z tym każdy z elementów unii jest również liczbą naturalną. To implikuje, że należy do .

Udowodniliśmy wszystkie przesłanki Twierdzenia 3.1. (patrz twierdzenie 3.1.) i w związku z tym twierdzenie to gwarantuje, że , czyli że każdy z elementów dowolnej liczby naturalnej jest również liczbą naturalną.

End of proof.gif

Dowiedziemy teraz paru własności dotyczących liczb naturalnych. Wiemy, że liczbami naturalnymi są oraz następniki liczb naturalnych. Niewątpliwie nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej, ponieważ następnik dowolnego zbioru posiada przynajmniej jeden element - dla mamy . Poniższy fakt pokazuje własność przeciwną.

Fakt 4.2.

Każda liczba naturalna jest albo zbiorem pustym, albo następnikiem liczby naturalnej. Formalnie:

Dowód

Aby dowieść tego faktu skorzystamy z twierdzenia o indukcji matematycznej. Zdefiniujemy zbiór jako zbiór elementów spełniających nasze założenia:

Aby skorzystać z twierdzenia o indukcji wykażemy, że:

  • Zbiór pusty jest elementem -- jest to oczywista konsekwencja definicji .
  • Jeśli to również . Aby to wykazać, załóżmy, że . Oczywiście jest następnikiem pewnej liczby naturalnej - .

Na podstawie twierdzenia o indukcji , czyli fakt jest prawdziwy.

End of proof.gif

Kolejny fakt mówi o zależnościach pomiędzy różnymi liczbami naturalnymi.

Fakt 4.3.

Dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnego zbioru , jeśli , to .

Dowód

Dowód przeprowadzimy indukcyjnie, czyli w oparciu o Twierdzenie 3.1. (patrz twierdzenie 3.1.). Zdefiniujmy zbiór jako zbiór tych wszystkich , elementów , które spełniają nasze założenie -- formalnie:

Aby skorzystać z indukcji, należy wykazać dwa fakty:

  • Oczywiście , ponieważ i warunek jest fałszem, dla wszystkich .
  • Załóżmy teraz że i dowiedźmy, że jest również elementem . W tym celu ustalmy dowolny taki, że . Rozważamy dwa przypadki - albo , albo  (równoważnie ). Jeśli , to, na mocy założenia indukcyjnego, , a ponieważ , wnioskujemy, że , co należało wykazać. W drugim przypadku , ale, ponieważ , otrzymujemy natychmiast, że , co należało wykazać.

No mocy twierdzenia o indukcji matematycznej i fakt jest dowiedziony dla wszystkich liczb naturalnych.

End of proof.gif

Kilka podobnych własności liczb naturalnych podajemy jako ćwiczenie:

Ćwiczenie 4.1

Jeśli i są liczbami naturalnymi, to:

1. jeżeli , to ,
2. jeżeli i , to ,
3. lub - czyli wszystkie liczby naturalne są porównywalne przez inkluzję
4. albo albo - czyli dla dowolnych dwóch różnych liczb naturalnych jedna jest elementem drugiej.

Przedstawimy kolejno rozwiązania do powyższych podpunktów:

Rozwiązanie 1
Rozwiązanie 2
Rozwiązanie 3
Rozwiązanie 4

Porządek na liczbach naturalnych

Wśród naiwnie interpretowanych liczb naturalnych mamy zdefiniowany porządek mniejszości. Aby zdefiniować taki porządek w aksjomatycznie skonstruowanym zbiorze liczb naturalnych musimy go wyrazić za pomocą symboli predykatowych. Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych i piszemy:

oraz

Przy takim zdefiniowaniu relacji Fakt 4.3. (patrz fakt 4.3.) i poprzednie ćwiczenie natychmiast gwarantują, że dla dowolnych liczb naturalnych i :

  • ,
  • ,
  • ,
  • - gdzie dokładnie jeden z warunków jest prawdziwy.

Kolejne własności dotyczące porządku na liczbach naturalnych podajemy w formie ćwiczenia:

Ćwiczenie 5.1

Dla dowolnych liczb naturalnych i następujące warunki są spełnione:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. .

Ustalmy dowolne liczby naturalne i

Rozwiązanie 1
Rozwiązanie 2
Rozwiązanie 3
Rozwiązanie 4
Rozwiązanie 5
Rozwiązanie 6

Często używać będziemy zbioru wszystkich liczb naturalnych mniejszych niż dana liczba. Okazuje się, że zdefiniowaliśmy już takie zbiory - każda liczba naturalna to zbiór liczb silnie mniejszych od niej.

Wniosek 5.1.

Każda liczba naturalna to zbiór liczb istotnie mniejszych od . Formalnie:

Dowód

Dla dowolnego ustalonego i implikacja w lewą stronę jest oczywista (z definicji ). Implikacja w prawą stronę jest natychmiastową konsekwencją Twierdzenia 4.1. (patrz twierdzenie 4.1.) i definicji .

End of proof.gif

Ćwiczenie 5.2

Ile jest funkcji takich, że , dla każdej liczby naturalnej .

Podpowiedź
Rozwiązanie

Następujące twierdzenie mówi, że każdy zbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą w porządku . Pozwala ono dowody przez indukcję zamieniać na dowody niewprost. Zamiast przeprowadzać dowód indukcyjny dla zbioru , rozważyć możemy zbiór . Na mocy poniższego twierdzenia zbiór taki posiada element minimalny, który jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej, co pozwala na uzyskanie sprzeczności.

Twierdzenie 5.2. [Zasada minimum]

Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy, to znaczy taki, że wszystkie elementy w tym zbiorze są od niego większe lub równe.

Dowód

Faktu tego dowodzimy indukcyjnie. Na początku ustalmy zbiór :

Zbiór zawiera takie liczby naturalne, że dla dowolnego zbioru liczb naturalnych jeśli  (czyli w zbiór zawiera liczbę naturalną silnie mniejszą od ), to zbiór jest elementem . Wykażmy, indukcyjnie, że .

  • Niewątpliwie , ponieważ, dla dowolnego, fałszem jest .
  • Załóżmy, że i ustalmy zbiór taki, że i . Ponieważ naturalnie jest rozważyć dwa przypadki. Jeśli , otrzymujemy na mocy założenia indukcyjnego. W przeciwnym przypadku , czyli . Otrzymujemy wtedy . Równocześnie, dla każdego mamy lub  (na mocy identyczności pokazanych wcześniej) ponieważ -trzecia możliwość jest zabroniona na mocy . To wykazuje, że dla każdego mamy, na mocy własności liczb naturalnych, . Używając własności przecięcia dostajemy , a ponieważ otrzymujemy - to daje - co należało wykazać.

Aby dowieść twierdzenie, ustalmy niepusty zbiór . Niewątpliwie istnieje takie, że . Wtedy , ponieważ . Na mocy dowiedzionego chwilę wcześniej faktu wnioskujemy, że . Czyli że jest najmniejszą liczbą naturalną występującą w .

End of proof.gif

Oczywistym faktem jest, że nie istnieje największa liczba naturalna. Aksjomatyczny dowód tego faktu przebiega niewprost. Jeśli jest liczbą naturalną, to jest również liczbą naturalną i , więc nie mogła być większa od wszystkich liczb. Niemniej jednak, jeśli pewien podzbiór liczb naturalnych jest ograniczony z góry, to posiada element największy.

Twierdzenie 5.3. [Zasada maksimum]

Jeśli jest niepustym zbiorem liczb naturalnych ograniczonym z góry, tzn.:

to posiada element największy, tzn.:

Dowód

Faktu tego dowodzimy przez indukcję. Zdefiniujmy zbiór jako zbiór tych ograniczeń górnych dla których zachodzi nasza teza:

Zbiór jest zdefiniowany jako zbiór tych liczb naturalnych , że dla każdego zbioru składającego się z liczb silnie mniejszych od zbiór ten posiada największy element (którym jest ). Przechodzimy do indukcyjnego dowodu tego faktu.

  • Niewątpliwie , ponieważ nie posiada żadnych niepustych podzbiorów.
  • Załóżmy, że i ustalmy dowolne, niepuste . Jeśli , to, ponieważ pozostałe elementy są podzbiorami , otrzymujemy . Jeśli , to i, na mocy założenia indukcyjnego otrzymujemy .

Ustalmy teraz dowolny niepusty zbiór liczb naturalnych ograniczony z góry przez liczbę naturalną . Natychmiast otrzymujemy, że i na mocy dowiedzionej wcześniej własności , czyli jest liczbą naturalną i elementem . Niewątpliwie jest nadzbiorem każdego z elementów , co dowodzi, że jest elementem maksymalnym zbioru .

End of proof.gif

Definiowanie przez indukcję

Następujące twierdzenie pozwala nam zdefiniować dodawanie, mnożenie i wiele ważnych operacji na liczbach naturalnych. Twierdzenie to mówi, że jeśli wiemy, jak zdefiniować pewną operację dla zera oraz jak zdefiniować ją dla następnika danej liczby, to możemy zdefiniować ją równocześnie dla wszystkich liczb.

Twierdzenie 6.1. [o definiowaniu przez indukcję]

Niech i będą zbiorami, a i funkcjami. Istnieje unikalna funkcja taka, że:

Dowód

Dowód istnienia funkcji będzie się opierał na analizie elementów następującego zbioru:

gdzie

Zbiór jest to zbiór funkcji, które częściowo rozwiązują nasz problem -- funkcje ze zbioru działają dla liczb naturalnych mniejszych niż pewne, ustalone . Funkcja , której istnienia dowodzimy, powinna działać dla wszystkich liczb naturalnych.

W pierwszej części dowiedziemy, że zbiór jest niepusty i, co więcej, zawiera przynajmniej jedną funkcję dla każdej liczby naturalnej . Dowód jest indukcyjny -- zdefiniujmy zbiór jako zbiór tych liczb, dla których istnieją odpowiednie funkcje w :

Dowiedziemy indukcyjnie, że :

  • Niewątpliwie ponieważ funkcja zdefiniowana jako jest elementem .
  • Załóżmy, że . To oznacza, że istnieje funkcja spełniająca (*). Funkcja

zdefiniowana jako:

przeprowadza w i należy do , gwarantując, że .

Na podstawie twierdzenia o indukcji istnieje funkcja należąca do , dla każdego .

Kolejną rzeczą jako wykażemy jest to, że dowolne funkcje i dla tych samych argumentów zwracają takie same wyniki (oczywiście zakładając, że argumenty należą do przecięcia dziedzin tych funkcji). Nasz dowód przebiega niewprost. Załóżmy że funkcje są takie, że istnieje i spełniające . Zastosujmy Twierdzenie 5.2. (patrz twierdzenie 5.2.) do zbioru tych wszystkich , dla których istnieje spełniające  (na mocy naszego założenia zbiór ten jest niepusty). Otrzymujemy najmniejszą liczbę naturalną taką, że . Liczba nie może być równa , bo wtedy , więc, na mocy Faktu 4.2. (patrz fakt 4.2.) , dla pewnego . Ponieważ , więc i otrzymujemy sprzeczność dzięki:

Dowód twierdzenia kończymy, definiując . Na mocy wcześniejszego faktu jest funkcją, a na mocy faktu, który dowodziliśmy indukcyjnie dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Warunki stawiane są spełnione w sposób oczywisty dzięki definicji zbioru .

Aby wykazać unikalność funkcji załóżmy, że istnieje funkcja spełniająca tezę twierdzenia. Wnioskujemy, że istnieje i takie, że . Wtedy jednak zawężone do jest elementem zbioru , co stoi w sprzeczności z faktem wykazanym o .

End of proof.gif

Operacje na liczbach naturalnych

Definiowanie przez indukcję pozwala nam na wprowadzenie podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach naturalnych. Jako pierwszą z tych operacji wprowadzimy dodawanie.

Dodawanie liczb naturalnych

Dodawanie jest funkcją dwuargumentową przekształcającą w . Aby wykazać istnienie dodawania, korzystamy z twierdzenia o indukcji, kładąc za i zbiór liczb naturalnych i definiując oraz . Na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcję istnieje funkcja taka, że i . Funkcja ta to dodawanie liczb naturalnych i będziemy używać zwyczajnej notacji . Zgodnie z intuicją, dla dowolnej liczby naturalnej mamy .

Jedyną udowodnioną w tej chwili własnością funkcji zapisywanej przez są wynikające wprost z definicji własności. Wiemy, że,

dla każdego liczby naturalnej oraz że,

dla dowolnych liczb i . Poniżej przedstawiamy parę podstawowych faktów dotyczących dodawania liczb naturalnych.

Fakt 7.1.

Jeśli suma dwóch liczb jest równa , to obie liczby muszą być równe .

Dowód

Załóżmy, że dla dwu liczb naturalnych i zachodzi . Jeśli liczba jest następnikiem jakiejś liczby naturalnej, to również jest następnikiem jakiejś liczby i w związku z tym . Na podstawie Faktu 4.2. (patrz fakt 4.2.) wnioskujemy, że . Wtedy i otrzymujemy , co należało wykazać.

End of proof.gif

Kolejny fakt mówi o łączności dodawania liczb naturalnych.

Fakt 7.2.

Dodawanie liczb naturalnych jest łączne. Formalnie:

Dowód

Dowód jest indukcją ze względu na .

  • Jeśli , to oraz i w związku z tym , co należało pokazać.
  • Zakładamy, że równość jest prawdziwa dla  (dla

dowolnych i ). Ustalmy dowolne liczby naturalne i , wtedy:

gdzie druga równość wynika z założenia indukcyjnego, a wszystkie pozostałe równości z definicji funkcji .

Dzięki twierdzenie o indukcji matematycznej dodawanie jest łączne dla wszystkich liczb naturalnych.

End of proof.gif

Dalsze własności dodawania liczb naturalnych prezentujemy jako ćwiczenie.

Ćwiczenie 7.1

Dla dowolnych liczb naturalnych i udowodnij:

1. ,
2. ,
3. , czyli dodawanie jest przemienne,
4. jeśli , to , czyli dodawanie jest skracalne,
5. jeśli , to istnieje takie, że .
Rozwiązanie 1
Rozwiązanie 2
Rozwiązanie 3
Rozwiązanie 4
Rozwiązanie 5

Ćwiczenie 7.2

Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych i :

1. jeśli , to ,
2. .
Rozwiązanie 1
Rozwiązanie 2

Mnożenie liczb naturalnych

Podobnie do dodawania możemy zdefiniować mnożenie. Stosujemy twierdzenie o definiowaniu przez indukcję do oraz i . Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję gwarantuje istnienie funkcji takiej, że:

oraz:

Funkcję definiującą mnożenie oznaczamy w notacji infiksowej symbolem tak, że . Podobnie jak dla dodawania musimy wykazać własności dotyczące mnożenia liczb naturalnych, posługując się wyłącznie powyższą definicją.

Fakt 7.3.

Dla dowolnej liczby naturalnej mamy .

Dowód

Dowód tego faktu jest indukcją ze względu na . Jeśli , to . Jeśli równość jest prawdą dla , to , co, na mocy założenia indukcyjnego, jest równe . Dowiedliśmy kroku indukcyjnego, a co za tym idzie całej identyczności.

End of proof.gif

Kolejne własności przedstawiamy w formie ćwiczeń.

Ćwiczenie 7.3

Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych i zachodzi:

1. - dodawanie jest rozdzielne względem mnożenia z prawej strony,
2. - dodawanie jest rozdzielne względem mnożenia z lewej strony,
3. - mnożenie jest łączne,
4.
5. wtedy i tylko wtedy, kiedy
6. - mnożenie jest przemienne,
7. jeśli i to .
Rozwiązanie 1
Rozwiązanie 2
Rozwiązanie 3
Rozwiązanie 4
Rozwiązanie 5
Rozwiązanie 6
Rozwiązanie 7

Ćwiczenie 7.4

Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych i .

1. jeśli i , to ,
2. jeśli , to .
Rozwiązanie 1
Rozwiązanie 2