Logika i teoria mnogości/Wykład 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

"Naiwna" teoria mnogości

Teoria zbiorów, zwana również teorią mnogości, została stworzona około połowy XIX wieku, przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Teoria mnogości to gałąź matematyki zajmująca się zbiorami - kolekcja obiektów. Skończone zbiory można definiować, wypisując kolejno wszystkie ich elementy. Georg Cantor był pierwszą osobą, która podjęła się przeniesienia na ścisły grunt matematyczny pojęcia zbioru nieskończonego. Według Georga Cantora zbiór może być dowolną kolekcją obiektów zwanych elementami. Według tego podejścia zbiór jest pojęciem podstawowym i niedefiniowalnym. Niestety podejście do teorii zbiorów w ten sposób rodzi paradoksy i dlatego teoria mnogości prezentowana w ten sposób jest często nazywana "naiwną" teorią mnogości.

Adolf Abraham Halevi Fraenkel (1891-1965)
Zobacz biografię

Teoria matematyczna nie może dopuszczać istnienia paradoksów i dlatego na początku XX wieku zmieniono podejście do teorii mnogości. Zaproponowany przez Ernsta Zermelo i uzupełniony przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela system aksjomatów wyklucza paradoksy, które spowodowały, że naiwna teoria zbiorów musiała zostać porzucona. Aksjomaty te nakładają pewne ograniczenia na konstrukcje zaproponowane przez Georga Cantora. W większości przypadków jednak intuicje związane z naiwną teorią mnogości sprawdzają się również w aksjomatycznej teorii zbiorów. Zaprezentowane poniżej, skrótowe przedstawienie "naiwnej teorii mnogości" ma na celu wyrobienie intuicji niezbędnych przy dalszej pracy nad formalną wersją tych teorii. Aksjomatyczna teoria zbiorów zostanie przedstawiona w Wykładzie 4.

W podejściu zaproponowanym przez Georga Cantora zbiory skończone można łatwo wskazywać poprzez wyliczenie ich elementów. Definiowanie zbiorów nieskończonych wymaga bardziej rozwiniętego języka, niemniej jednak, według Georga Cantora, każda kolekcja obiektów jest zbiorem. Podstawowym symbolem używanym przy definiowaniu i opisywaniu zbiorów jest

oznaczający, że dany byt jest "elementem" pewnego zbioru. Napis

"Kraków" "zbiór wszystkich miast Polski"

ilustruje zastosowanie tego symbolu.

Aby zdefiniować zbiór należy określić definitywny sposób na rozpoznawania, czy dany byt jest elementem zbioru, czy nie. Najczęściej używanym symbolem przy definiowaniu zbioru są nawiasy klamrowe. Definicja skończonego zbioru może być bardzo łatwa. Zbiór

Kraków

posiada trzy elementy. Liczba 2 jest elementem tego zbioru Kraków , ale również
Kraków Kraków.


Dwa zbiory są sobie równe (takie same), jeśli posiadają dokładnie te same elementy. Jedynymi elementami zbioru są liczby naturalne 2 i 3 - ten sam fakt jest prawdziwy dla zbioru , a więc

Podobnie i

"zbiór liczb naturalnych ściśle pomiędzy 1 a

4".

W definicji zbioru nie ma znaczenia kolejność, w jakiej wymienione są jego elementy, ani krotność w jakiej dany element pojawia się w zbiorze.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Zobacz biografię

Zbiory można definiować na wiele sposobów. Najprostszym sposobem zdefiniowania zbioru jest wyliczenie jego elementów. Strategia ta zawodzi jednak w odniesieniu do zbiorów nieskończonych -- nie jesteśmy w stanie wypisać wszystkich liczb naturalnych. Zgodnie z postulatami Georga Cantora możemy przyjąć, że istnieje zbiór wszystkich liczb naturalnych. Czasami, na określenie zbiorów nieskończonych używamy nieformalnego zapisu - zbiór wszystkich liczb naturalnych może być zapisany jako

W podejściu zaproponowanym przez Georga Cantora równoważna definicja tego zbioru brzmi

"zbiór wszystkich liczb naturalnych"

Bardzo często tworzymy zbiory składające się z obiektów spełniających daną własność. Zbiór liczb parzystych możemy zdefiniować w sposób następujący

jest liczbą parzystą

Bardziej ogólnie

warunek.

W skład powyżej zdefiniowanego zbioru wchodzą te elementy, które spełniają warunek występujący po znaku . Żeby zakwalifikować element do powyższego zbioru, wstawiamy go w miejsce w warunku występującym po i sprawdzamy, czy jest on prawdziwy. Żeby pokazać, że

jest liczbą parzystą

musimy dowieść, że warunek "2 jest liczbą parzystą" jest prawdziwy.

Pomiędzy zbiorem liczb parzystych a zbiorem wszystkich liczb naturalnych występuje oczywista zależność. Każda liczba parzysta jest liczbą naturalną, co, ujęte w języku zbiorów, oznacza, że każdy element zbioru liczb parzystych jest elementem zbioru liczb naturalnych. Zbiór liczb parzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych (a zbiór liczb naturalnych nadzbiorem zbioru liczb parzystych). Zapisujemy to w następujący sposób

jest liczbą parzystą "zbiór liczb naturalnych"

Ogólniej, jeśli każdy element zbioru jest elementem zbioru mówimy, że zbiór jest podzbiorem zbioru i piszemy

W takim przypadku mówimy, że pomiędzy zbiorami i zachodzi inkluzja.

W szczególności, dla dowolnego zbioru zachodzi . Wspomnieliśmy wcześniej, że dwa zbiory są sobie równe wtedy i tylko wtedy, kiedy posiadają dokładnie takie same elementy. Fakt ten możemy zapisać formalnie w następujący sposób

wtedy i tylko wtedy, kiedy i

Często zależy nam na określeniu znaczącym, że jeden zbiór jest podzbiorem drugiego i że zbiory te nie są sobie równe. Używamy wtedy symbolu w następujący sposób

wtedy i tylko wtedy, kiedy i nieprawda, że

Ćwiczenie 1.1

Dla każdej pary zbiorów poniżej określ, czy są sobie równe oraz czy jeden z nich jest nadzbiorem drugiego

  1. , dzieli liczbę ,
  2. "zbiór liczb naturalnych" , dzieli ,
  3. , .
Rozwiązanie


Najczęstszymi operacjami wykonywanymi na zbiorach są operacje sumy, przecięcia i różnicy. Sumą dwóch zbiorów i jest zbiór oznaczony przez w skład którego wchodzą wszystkie elementy zbioru , wszystkie elementy zbioru i żadne elementy spoza tych zbiorów

lub
Unia zbiorów.

Podobnie definiujemy przecięcie zbiorów

i
Standardowy obrazek ilustrujący przecięcie zbiorów oraz różnicę zbiorów.
i
Standardowy obrazek ilustrujący różnicę zbiorów.

Ćwiczenie 1.2

Dla następujących par zbiorów ustal zawieranie lub równość

  1. "zbiór liczb naturalnych" liczba nieparzysta, większa niż 2 dzieli
    i drugi zbiór gdzie jest liczbą naturalną ,
  2. liczba 2 dzieli liczba 3 dzieli i zbiór liczba 6 dzieli .
Rozwiązanie


Dla dowolnego zbioru zachodzi i . Zbiór, który otrzymujemy jako wynik operacji jest zbiorem pustym. Na mocy definicji różnicy zbiorów elementami zbioru są wyłącznie te elementy , które nie należą do . Takie elementy nie istnieją - żaden element ze zbioru nie należy do i żaden element spoza nie należy do tego zbioru. Zbiór pusty jest oznaczany przez . Odejmowanie zbiorów od samych siebie nie jest jedynym sposobem na otrzymanie zbioru pustego.

"zbiór liczb naturalnych" "zbiór psów" "zbiór wszystkich zwierząt"

Zbiór po lewej stronie nierówności jest równy zbiorowi po prawej stronie nierówności. Każdy element zbioru po prawej stronie jest również elementem zbioru po lewej stronie nierówności i vice versa, dlatego że żaden z tych zbiorów nie posiada elementów.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
Zobacz biografię

Niestety, podejście zaproponowane przez Georga Cantora i uściślone przez Friedricha Frege posiada błędy. Jedną z pierwszych osób które zwróciły uwagę na niedociągnięcia tej teorii jest Bertrand Russell. Zgodnie z zasadami zaproponowanymi przez [Biografia_Cantor|Georga Cantora]] można zdefiniować dowolny zbiór. Zdefiniujmy, więc zbiór

Zbiór składa się ze zbiorów, które nie są swoimi własnymi elementami. Paradoks zaproponowany przez Bertranda Russella polega na tym, że pytanie czy jest swoim własnym elementem prowadzi do sprzeczności. Jeśli to, zgodnie z definicją zbioru otrzymujemy , co jest sprzecznością z założeniem. Jeśli , to spełnia warunek na przynależność do i w związku z tym , co jest kolejną sprzecznością. Definicja zbioru zaproponowana przez Georga Cantora prowadzi do powstania logicznych paradoksów. Okazuje się, że pytanie: co jest zbiorem, jest trudniejsze niż wydawało się matematykom końca XIX wieku.

W dalszej części wykładu przedstawimy właściwe podejście do teorii mnogości. Podejście to jest oparte o część logiki zwaną rachunkiem predykatów. Podejście to zostało zaproponowane przez Ernsta Zermelo na początku XX wieku i ma na celu dostarczenie spójnej teorii zbiorów o mocy podobnej do naiwnej teorii, przy równoczesnym uniknięciu paradoksów. Aksjomatyczna teoria mocy definiuje bardzo dokładnie, które kolekcje obiektów są zbiorami. W szczególności paradoks zaproponowany przez Bertranda Russella nie pojawia się w aksjomatycznej teorii zbiorów, ponieważ zbiór zdefiniowany powyżej jako w niej nie istnieje.

"Naiwna" indukcja

Francesco Maurolico (1494-1575)
Zobacz biografię

Zasada indukcji matematycznej jest o prawie trzysta lat starsza niż teoria mnogości. Pierwszy dowód indukcyjny pojawił się w pracy

Francesco Maurolico w 1575 roku. W pracy tej autor wykazał, że suma pierwszych liczb nieparzystych równa się .

Aby zastosować zasadę indukcji matematycznej, należy wykazać dwa fakty:

  • hipoteza jest prawdziwa dla ,
  • jeśli hipoteza jest prawdziwa dla , to jest również prawdziwa dla .

Drugi z powyższych punktów musi być prawdą dla wszystkich . Jeśli oba fakty są prawdą, to hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych większych od 1. Rozumowanie, które stoi za tym wnioskiem wygląda następująco:

  1. hipoteza jest prawdziwa dla na podstawie podstawy indukcji,
  2. hipoteza jest prawdziwa dla , ponieważ jest prawdziwa dla 1 i po zastosowaniu kroku     indukcyjnego również dla 2,
  3. hipoteza jest prawdziwa dla ; w poprzednim punkcie pokazaliśmy, że jest prawdziwa dla     2 i na podstawie kroku indukcyjnego jest również prawdziwa 3,
  4. i tak dalej.
Nieskonczone domino ponumerowanych liczbami naturalnymi klocków w trakcie przewracania

Zasadę indukcji matematycznej można porównać do domina. Aby mieć pewność, że przewrócone zostaną wszystkie klocki wystarczy wykazać, że przewrócony zostanie pierwszy klocek i że każdy klocek pociąga za sobą następny.

Dowód indukcyjny przedstawiony przez Francesco Maurolico pokazuje, że suma pierwszych liczb nieparzystych jest równa .


  • Jeśli to pierwsza liczba nieparzysta 1 jest równa .
  • Jeśli hipoteza jest prawdą dla , to znaczy że suma pierwszych liczb nieparzystych równa się . Bardziej formalnie

tak więc suma pierwszych liczb nieparzystych , przy użyciu założenia powyżej może być zapisana jako

Krok indukcyjny został dowiedziony.

Ćwiczenie 2.1

Wykaż, że suma pierwszych liczb naturalnych jest równa .

Rozwiązanie


Ćwiczenie 2.2

Wykaż, że suma kwadratów pierwszych liczb naturalnych jest równa .

Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.3

Wykaż, że dla zachodzi .

Rozwiązanie

Często bardzo niepraktyczne jest używanie indukcji w jej podstawowej formie. Używa się wtedy indukcji, która w pierwszym kroku nie zaczyna się od , ale , lub dowolnej innej liczby naturalnej. W takim przypadku drugi krok indukcyjny nie musi działać dla wszystkich , a wystarczy, by działał dla większych lub równych od liczby, którą wybraliśmy w pierwszym kroku. Końcowy dowód indukcyjny pokaże, że dana hipoteza nie jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych, a jedynie dla liczb większych od tej wybranej na pierwszy krok indukcyjny.

Jako przykład pokażemy, że . Po pierwsze nierówność ta nie zachodzi dla , więc nie można rozpocząć kroku indukcyjnego od . Indukcja będzie wyglądać następująco:

  • Hipoteza jest prawdą dla , ponieważ .
  • Jeśli hipoteza jest prawdą dla i jeśli to
gdzie pierwsza nierówność pochodzi z założenia indukcyjnego, a druga z faktu, że dowodzimy krok indukcyjny dla liczb większych niż 4.


Ćwiczenie 2.4

W tym ćwiczeniu dowodzimy wariant nierówności Bernoulliego. Dla dowolnego takiego, że i i dla dowolnego zachodzi .

Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.5

Liczby Fibonacciego zdefiniowane są następująco:

oraz dla

Udowodnij, że dla dowolnego liczby i są względnie pierwsze.

Rozwiązanie

Kolejnym uogólnieniem zasady indukcji matematycznej jest indukcja, w której w drugim kroku indukcyjnym zakładamy, że hipoteza jest prawdą dla wszystkich liczb mniejszych niż i dowodzimy, że jest również prawdziwa dla .

Jako przykład udowodnimy, że każda liczba naturalna większa niż 2 jest produktem jednej, lub więcej liczb pierwszych.

  • Hipoteza jest prawdą dla , ponieważ 2 jest liczbą pierwszą.
  • Zakładamy, że hipoteza jest prawdziwa dla liczb od 2 do . Weźmy liczbę , jeśli jest liczbą pierwszą, to hipoteza jest udowodniona. Jeśli nie jest liczbą pierwszą, to , gdzie . Założenie indukcyjne gwarantuje, że
i
gdzie są liczbami pierwszymi. W związku z tym
i krok indukcyjny jest udowodniony.

Ćwiczenie 2.6

Udowodnij, że każda liczba naturalna większa niż 1 może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego tak, że żadna liczba nie występuje w tej sumie więcej niż raz.

Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.7

Znajdź błąd w poniższym dowodzie indukcyjnym. Dowodzimy indukcyjnie twierdzenia, że wszystkie liczby są parzyste.

  • Twierdzenie jest prawdą dla ponieważ 0 jest liczbą parzystą.
  • Zakładamy, że twierdzenie jest prawdą dla wszystkich liczb mniejszych lub równych . Liczba jest niewątpliwie sumą dwóch liczb silnie mniejszych od siebie . Liczby i , na podstawie założenia indukcyjnego, są parzyste, zatem ich suma równa jest parzysta. Krok indukcyjny został dowiedziony.

Na zasadzie indukcji matematycznej wszystkie liczby są parzyste.

Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.8

W trójwymiarowej przestrzeni znajduje się punktów. Ilość punktów w rzutowaniu na płaszczyznę oznaczamy przez . Podobnie ilość punktów w rzutowaniu na przez i ilość punktów w rzutowaniu na przez . Wykaż, że dla dowolnego rozkładu punktów w przestrzeni zachodzi nierówność

Podpowiedź 1
Podpowiedź 2
Rozwiązanie

Zasada indukcji matematycznej jest bardzo potężnym narzędziem. Intuicyjnie wydaje się jasne, że dowody przeprowadzone przy jej pomocy są poprawne. Niemniej jednak, żeby uzasadnić poprawność samej zasady, należy sięgnąć do teorii mnogości i definicji zbioru liczb naturalnych. Wiemy już, że "naiwna teoria mnogości" nie daje nam poprawnych zbiorów, na których można oprzeć ścisłe rozumowanie. W dalszej części wykładu wyprowadzimy zasadę indukcji matematycznej w oparciu o aksjomaty i aksjomatycznie zdefiniowany zbiór liczb naturalnych. Takie podejście gwarantuje nam poprawność rozumowania -- podejście naiwne zapewnia intuicje niezbędne do budowania poprawnych teorii.

"Naiwne" dowody niewprost

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Częstą metodą dowodzenia twierdzeń matematycznych jest dowodzenie niewprost. Dowód niewprost polega na założeniu zaprzeczenia twierdzenia, które chcemy udowodnić i doprowadzeniu do sprzeczności. Wykazujemy, że jeśli twierdzenie nasze jest nieprawdziwe, jesteśmy w stanie udowodnić jakąś tezę, która jest w sposób oczywisty fałszywa.

Jednym z najbardziej znanych dowodów niewprost jest dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych. Dowód ten został zaproponowany przez Euklidesa z Aleksandrii, a my prezentujemy go w wersji podanej przez Ernsta Kummera.

Twierdzenie 3.1

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Dowód

Załóżmy, że istnieje jedynie skończenie wiele liczb pierwszych . Zdefiniujmy liczbę

i rozważmy . Liczba posiada dzielnik pierwszy, a ponieważ jedynymi pierwszymi liczbami są liczby , wnioskujemy, że dzieli dla pewnego . Liczba dzieli również , a więc dzieli co jest sprzecznością.

End of proof.gif

Ćwiczenie 3.1

Wykaż, że nie istnieje największa liczba naturalna.

Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.2

Wykaż, że jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie

Ścisłe uzasadnienie poprawności dowodów niewprost leży na gruncie logiki, której poświęcony jest następny wykład.